Produto escalar, Propriedades do produto escalar, Ângulos entre dois vetores, Vetores ortogonais

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos: 

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

   

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
   

v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v| |u.v| <= |u| |v|    (desigualdade de Schwarz) |u+v| <= |u| + |v|   (desigualdade triangular) Obs: <= significa menor ou igual

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

   

Vetores ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se:

u.v = 0