tag:blogger.com,1999:blog-38572216640725747532024-03-04T20:05:49.462-08:00MATEMÁTICA EM AÇÃOBlog criado com o intuito de publicar, ensinar e fazer as pessoas aprenderem brincando!Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.comBlogger39125tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-90730365292633133702013-03-28T22:27:00.001-07:002013-03-29T09:08:03.468-07:00Teste de QI de Einstein<h1 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 36px; line-height: 40px; margin: 0px 0px 10px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<span style="color: #404040; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 18px; line-height: 20px;">Albert Einstein criou este teste de qi (raciocínio lógico) no século passado e afirmou que 98% da população mundial </span><b style="color: #404040; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 18px; line-height: 20px;">não</b><span style="color: #404040; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 18px; line-height: 20px;"> é capaz de resolvê-lo.</span></h1>
<div style="border: 0px; color: #404040; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 18px; line-height: 20px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br />
OBS: Copiem esse esquema em uma folha de papel e façam de acordo com as dicas! Boa sorte! quem sabe (como eu), vocês entrem para (segundo Einstein) os 2% da população que consegue resolver esse teste!</div>
<h5 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 16px; line-height: 40px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
Regras básicas para resolver o teste</h5>
<ol class="fonte-menor" style="border: 0px; list-style-position: inside; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; color: #404040; font-family: inherit; font-size: 14px; font-style: inherit; line-height: 20px; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Há 5 casas de diferentes cores;</li>
<li style="border: 0px; color: #404040; font-family: inherit; font-size: 14px; font-style: inherit; line-height: 20px; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade;</li>
<li style="border: 0px; color: #404040; font-family: inherit; font-size: 14px; font-style: inherit; line-height: 20px; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm um certo animal de estimação;</li>
<li style="border: 0px; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><span style="color: #404040; font-family: inherit; font-style: inherit;"><span style="font-size: 14px; line-height: 20px;">Nenhum deles têm o mesmo animal, fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida.</span></span><br /><h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<div style="color: #404040; font-family: inherit; font-size: 14px; font-style: inherit; line-height: 20px;">
<ul style="border: 0px; font-size: 16px; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li class="column span-3" style="border: 0px; float: left; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 10px 3px 0px; padding: 0px; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 110px;"><ul style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;">Cor</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;">Nacionalidade</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;">Bebida</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;">Cigarro</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;">Animal</li>
</ul>
</li>
<li class="column span-3" style="border: 0px; float: left; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 10px 3px 0px; padding: 0px; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 110px;"><span style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: bold; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">1ª Casa</span><ul class="casa" id="div1" style="background-color: #eeeeee; border: 1px solid rgb(187, 187, 187); font-family: inherit; font-style: inherit; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cores1" name="cores1" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Amarela</option> <option value="1">Azul</option> <option value="2">Branca</option> <option value="3">Verde</option> <option value="4">Vermelha</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="nacionalidades1" name="nacionalidades1" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Alemão</option> <option value="1">Dinamarquês</option> <option value="2">Inglês</option> <option value="3">Norueguês</option> <option value="4">Sueco</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="bebidas1" name="bebidas1" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Água</option> <option value="1">Café</option> <option value="2">Cerveja</option> <option value="3">Chá</option> <option value="4">Leite</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cigarros1" name="cigarros1" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Blends</option> <option value="1">Bluemaster</option> <option value="2">Dunhill</option> <option value="3">Pall Mall</option> <option value="4">Prince</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="animais1" name="animais1" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Cachorros</option> <option value="1">Cavalos</option> <option value="2">Gatos</option> <option value="3">Pássaros</option> <option value="4">Peixes</option> </select></li>
</ul>
</li>
<li class="column span-3" style="border: 0px; float: left; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 10px 3px 0px; padding: 0px; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 110px;"><span style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: bold; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">2ª Casa</span><ul class="casa" id="div2" style="background-color: #eeeeee; border: 1px solid rgb(187, 187, 187); font-family: inherit; font-style: inherit; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cores2" name="cores2" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Amarela</option> <option value="1">Azul</option> <option value="2">Branca</option> <option value="3">Verde</option> <option value="4">Vermelha</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="nacionalidades2" name="nacionalidades2" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Alemão</option> <option value="1">Dinamarquês</option> <option value="2">Inglês</option> <option value="3">Norueguês</option> <option value="4">Sueco</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="bebidas2" name="bebidas2" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Água</option> <option value="1">Café</option> <option value="2">Cerveja</option> <option value="3">Chá</option> <option value="4">Leite</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cigarros2" name="cigarros2" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Blends</option> <option value="1">Bluemaster</option> <option value="2">Dunhill</option> <option value="3">Pall Mall</option> <option value="4">Prince</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="animais2" name="animais2" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Cachorros</option> <option value="1">Cavalos</option> <option value="2">Gatos</option> <option value="3">Pássaros</option> <option value="4">Peixes</option> </select></li>
</ul>
</li>
<li class="column span-3" style="border: 0px; float: left; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 10px 3px 0px; padding: 0px; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 110px;"><span style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: bold; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">3ª Casa</span><ul class="casa" id="div3" style="background-color: #eeeeee; border: 1px solid rgb(187, 187, 187); font-family: inherit; font-style: inherit; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cores3" name="cores3" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Amarela</option> <option value="1">Azul</option> <option value="2">Branca</option> <option value="3">Verde</option> <option value="4">Vermelha</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="nacionalidades3" name="nacionalidades3" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Alemão</option> <option value="1">Dinamarquês</option> <option value="2">Inglês</option> <option value="3">Norueguês</option> <option value="4">Sueco</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="bebidas3" name="bebidas3" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Água</option> <option value="1">Café</option> <option value="2">Cerveja</option> <option value="3">Chá</option> <option value="4">Leite</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cigarros3" name="cigarros3" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Blends</option> <option value="1">Bluemaster</option> <option value="2">Dunhill</option> <option value="3">Pall Mall</option> <option value="4">Prince</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="animais3" name="animais3" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Cachorros</option> <option value="1">Cavalos</option> <option value="2">Gatos</option> <option value="3">Pássaros</option> <option value="4">Peixes</option> </select></li>
</ul>
</li>
<li class="column span-3" style="border: 0px; float: left; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 10px 3px 0px; padding: 0px; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 110px;"><span style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: bold; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">4ª Casa</span><ul class="casa" id="div4" style="background-color: #eeeeee; border: 1px solid rgb(187, 187, 187); font-family: inherit; font-style: inherit; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cores4" name="cores4" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Amarela</option> <option value="1">Azul</option> <option value="2">Branca</option> <option value="3">Verde</option> <option value="4">Vermelha</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="nacionalidades4" name="nacionalidades4" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Alemão</option> <option value="1">Dinamarquês</option> <option value="2">Inglês</option> <option value="3">Norueguês</option> <option value="4">Sueco</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="bebidas4" name="bebidas4" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Água</option> <option value="1">Café</option> <option value="2">Cerveja</option> <option value="3">Chá</option> <option value="4">Leite</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cigarros4" name="cigarros4" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Blends</option> <option value="1">Bluemaster</option> <option value="2">Dunhill</option> <option value="3">Pall Mall</option> <option value="4">Prince</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="animais4" name="animais4" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Cachorros</option> <option value="1">Cavalos</option> <option value="2">Gatos</option> <option value="3">Pássaros</option> <option value="4">Peixes</option> </select></li>
</ul>
</li>
<li class="column span-3 last" style="border: 0px; float: left; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; text-align: center; vertical-align: baseline; width: 110px;"><span style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; font-weight: bold; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">5ª Casa</span><ul class="casa" id="div5" style="background-color: #eeeeee; border: 1px solid rgb(187, 187, 187); font-family: inherit; font-style: inherit; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cores5" name="cores5" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Amarela</option> <option value="1">Azul</option> <option value="2">Branca</option> <option value="3">Verde</option> <option value="4">Vermelha</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="nacionalidades5" name="nacionalidades5" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Alemão</option> <option value="1">Dinamarquês</option> <option value="2">Inglês</option> <option value="3">Norueguês</option> <option value="4">Sueco</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="bebidas5" name="bebidas5" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Água</option> <option value="1">Café</option> <option value="2">Cerveja</option> <option value="3">Chá</option> <option value="4">Leite</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="cigarros5" name="cigarros5" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Blends</option> <option value="1">Bluemaster</option> <option value="2">Dunhill</option> <option value="3">Pall Mall</option> <option value="4">Prince</option> </select></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; height: 20px; margin: 3px 0px; padding: 3px 0px; text-align: center; vertical-align: baseline;"><select id="animais5" name="animais5" style="margin: 0px; width: 100px;"> <option value="-1"></option> <option value="0">Cachorros</option> <option value="1">Cavalos</option> <option value="2">Gatos</option> <option value="3">Pássaros</option> <option value="4">Peixes</option> </select></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<div style="color: #404040; font-family: inherit; font-size: 14px; font-style: inherit; line-height: 20px;">
<br /></div>
<div style="color: #404040; font-family: inherit; font-size: 14px; font-style: inherit; line-height: 20px;">
<br /></div>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h4>
<h4 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 18px; font-style: inherit; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
Dicas:</h4>
<h4 style="border: 0px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<ul class="column span-12" style="border: 0px; color: #404040; float: left; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 16px; font-style: inherit; font-weight: normal; line-height: 20px; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline; width: 470px;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check8" name="check8" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O Norueguês vive na primeira casa.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check0" name="check0" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O Inglês vive na casa Vermelha.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check1" name="check1" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O Sueco tem Cachorros como animais de estimação.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check2" name="check2" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O Dinamarquês bebe Chá.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check3" name="check3" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />A casa Verde fica do lado esquerdo da casa Branca.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check4" name="check4" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que vive na casa Verde bebe Café.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check5" name="check5" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que fuma Pall Mall cria Pássaros.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check6" name="check6" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que vive na casa Amarela fuma Dunhill.</li>
</ul>
<ul class="column span-12 last" style="border: 0px; color: #404040; float: left; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 16px; font-style: inherit; font-weight: normal; line-height: 20px; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline; width: 470px;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check7" name="check7" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que vive na casa do meio bebe Leite.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check9" name="check9" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem Gatos.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check10" name="check10" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que cria Cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check11" name="check11" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que fuma BlueMaster bebe Cerveja.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check12" name="check12" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O Alemão fuma Prince.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check13" name="check13" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O Norueguês vive ao lado da casa Azul.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><input id="check14" name="check14" style="border-width: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-top: 0px; padding: 5px;" type="checkbox" />O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe Água.</li>
</ul>
</h4>
<h3 style="border: 0px; color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 24px; line-height: 40px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
</h3>
<div>
<br /></div>
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<br /></div>
<div>
<span style="color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 24px; line-height: 40px;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 24px; line-height: 40px;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #0c4498; font-family: 'Droid Sans', sans-serif; font-size: 24px; line-height: 40px;">Como resolver o Teste de Einstein</span></div>
<h4 style="border: 0px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<ul class="column span-12 last" style="border: 0px; color: #404040; float: left; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; font-size: 16px; font-style: inherit; font-weight: normal; line-height: 20px; list-style-position: inside; list-style-type: none; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline; width: 470px;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><ol style="border: 0px; list-style-position: inside; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit; font-style: inherit;">Comece pelas dicas simples como, por exemplo, "O Norueguês vive na primeira casa".</span></li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">A partir das dicas óbvias, é possivel ir deduzindo as outras logicamente.</li>
<li style="border: 0px; font-family: inherit; font-style: inherit; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Tenha calma e, se achar necessário, use um lápis e papel para tomar nota.</li>
</ol>
<div style="border: 0px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
Pense logicamente e tente fazer parte do privilegiado grupo de 2% que conseguem resolver o teste.<br />
<br />
Fonte:<a href="http://rachacuca.com.br/teste-de-einstein/" style="font-family: inherit; font-style: inherit;">http://rachacuca.com.br/teste-de-einstein/</a></div>
</li>
</ul>
</h4>
</li>
</ol>
<span style="color: #404040; font-family: Helvetica Neue, Helvetica, Arial, sans-serif;"></span><br />
<ol><span style="color: #404040; font-family: Helvetica Neue, Helvetica, Arial, sans-serif;">
<li style="text-align: justify;"><span style="line-height: 20px;"><br /></span></li>
</span></ol>
<span style="color: #404040; font-family: Helvetica Neue, Helvetica, Arial, sans-serif;">
</span><br />
<ol class="fonte-menor" style="border: 0px; list-style-position: inside; margin: 0px 0px 18px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<li style="border: 0px; margin: 0px 0px 3px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><h4 style="border: 0px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<div style="font-style: inherit;">
<span style="color: #404040; font-family: Helvetica Neue, Helvetica, Arial, sans-serif;"><span style="font-weight: normal; line-height: 20px;"><br /></span></span></div>
</h4>
</li>
</ol>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-41508860371197020622013-03-28T13:42:00.000-07:002013-03-28T13:42:00.869-07:00ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS<div align="center" style="background-color: white;">
<span style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif;"><span style="font-size: 11px;"> </span></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. </span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas<br />sobre números negativos e positivos. </span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">4 = 4x +20<br />3x -18 = 5x^2</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<b><span style="color: blue; font-size: x-small;">Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)</span></b></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;">Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos: </span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> 1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab. </span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> 2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab<br />Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa. </span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> 3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.<br /> </span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;">É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero. </span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-53313198539624604362013-03-25T14:58:00.002-07:002013-03-25T14:58:17.264-07:00ORIGEM DOS NÚMEROS IRRACIONAIS<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big>ORIGEM DOS NÚMEROS IRRACIONAIS</big></big></strong></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b> </b></span><big><big>A</big></big> origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritemética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.</div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<img height="141" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/irracio.gif" style="border: 0px;" width="162" /></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<big><big>E</big></big>ste problema geométrico arrasta outro de natureza aritemética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritemético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.<br /> <br /><br /><strong><span style="color: blue;"> O IRRACIONAL ø</span></strong></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:<br /><br />- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;<br />- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;<br />- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.</div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-51287179106838140522013-03-25T14:57:00.004-07:002013-03-25T14:57:33.810-07:00ORIGEM DOS SINAIS<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big><big>ORIGEM DOS SINAIS</big></big></big></strong></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><span style="color: navy;"> Adição ( + ) e subtração ( - )</span></b><br /><br /><span style="color: black;"> </span> <span style="color: black;">O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.<br />Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557<i>.</i>Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.</span></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;"> Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação <i>mais </i>usavam os algebristas italianos a letra <b>P</b>, inicial da palavra latina <i>plus</i>.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><span style="color: navy;">Multiplicação ( . ) e divisão ( : )</span></b></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">O sinal de <b>X</b>, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro <i>Clavis Matematicae</i> publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal <img height="13" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/sinal1.gif" style="border: 0px;" width="17" /> para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.<br /><br /> O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com <i>x</i>; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."<br />As formas a/b e <img align="middle" height="41" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/sinal3.gif" style="border: 0px;" width="16" />, indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal <b>:</b>, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal <b>÷</b>, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><span style="color: black;"> </span><span style="color: navy;">Sinais de relação ( =, < e > )</span></b></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: black;"> </span> <span style="color: black;">Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo <img align="middle" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/sinal2.gif" style="border: 0px;" width="20" />entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.<br /><br /> Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra <i>aequalis</i> aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.</span></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;"> Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-80087115847400259252013-03-25T14:55:00.002-07:002013-03-25T14:56:48.801-07:00A História da Matemática Comercial e Financeira<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<strong><span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: medium;">A História da Matemática Comercial e Financeira</span></strong></div>
<div align="right" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
<i>Trabalho fornecido ao Só Matemática pelo<br />Prof. Jean Piton-Gonçalves em agosto de 2005</i></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
<b><span style="font-size: small;">I-) Introdução </span></b></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. </div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecida. Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos. </div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas.Das 400 tábuas matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais. Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação. </div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
<b><span style="font-size: small;">II-) Os Juros e os Impostos </span></b></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra. Um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000 aC. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. </div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
A História também revela que a idéia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC, com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos. </div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
Como em todas as instruções que tem existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a juros tem sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais, mas alguns dos antigos costumes ainda persistem de tal modo que o seu uso nos dias atuais ainda envolve alguns procedimentos incômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. Assim, o cálculo de juros numa base anual era mais razoável; tão quanto o estabelecimento de juros compostos para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas em um ano.Conforme a necessidade de cada época, foi se criando novas formas de se trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário, etc). </div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 20px;">
Há tábuas nas coleções de Berlirn, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos e há algumas tábuas em Istambul que parecem ter sido original- mente tábuas de a' para n de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podem-se resolver equações exponenciais do tipo a' = b. Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?.<br />
<div align="justify">
<b><span style="font-size: small;"><br /></span></b></div>
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<b><span style="font-size: small;">III-) O Valor e a Moeda </span></b></div>
<div align="justify">
Na época em que os homens viviam em comunidades restritas, tirando da natureza todos os produtos de que tinham necessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comunicação entre as diversas sociedades. Mas com o desenvolvimento do artesanato e da cultura e em razão da desigual repartição dos diversos produtos naturais, a troca comercial mostrou-se pouco a pouco necessária. </div>
<div align="justify">
O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocam diretamente (e, portanto sem a intervenção de uma "moeda" no sentido moderno da palavra) gêneros e mercadorias correspondentes a matérias primas ou a objetos de grande necessidade. </div>
<div align="justify">
Por vezes, quando se tratava de grupos que entretinham relações pouco amistosas, essas trocas eram feitas sob a forma de um escambo silencioso. Uma das duas partes depositava, num lugar previamente estabelecido, as diversas mercadorias com as quais desejava fazer a troca e, no dia seguinte, encontrava em seu lugar (ou ao lado delas) os produtos propostos pelo outro parceiro. Se a troca fosse considerada conveniente levavam-se os produtos, senão retornava-se no dia seguinte para encontrar uma quantidade maior. O mercado podia então durar vários dias ou mesmo terminar sem troca quando as duas partes não podiam encontrar terreno para entendimento. </div>
<div align="justify">
Cenas como tais puderam ser observadas por exemplo entre os aranda da Austrália, os vedda do Ceilão, os bosquímanos e os pigmeus da África, os botocudos do Brasil, bem como na Sibéria e na Polinésia.<br />Com a intensificação das comunicações entre os diversos grupos e a importância cada vez maior das transações, a prática do escambo direto tornou-se bem rapidamente um estorvo. Não se podiam mais trocar mercadorias segundo o capricho de tal ou qual indivíduo ou em virtude de um uso consagrado ao preço de intermináveis discussões. </div>
<div align="justify">
Houve portanto a necessidade de um sistema relativamente estável de avaliações e de equivalências, fundado num princípio (vizinho daquele da base de um sistema de numeração) dando a definição de algumas unidades ou padrões fixos. Nesse sistema é sempre possível estimar tal ou qual valor, não somente para as operações de caráter econômico mas também (e talvez sobretudo) para a regulamentação de problemas jurídicos importantes e, todas as espécies de produtos, matérias ou objetos utilitários serviram nessa ocasião. </div>
<div align="justify">
A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. Não é por acaso que a palavra latina pecúnia quer dizer "fortuna, moeda, dinheiro": provém, com efeito, de pecus, que significa "gado, rebanho"; além disso, o sentido próprio da palavra pecunia corresponde ao "ter em bois".<br />Mas nos tempos antigos a operação de escambo, longe de ser um ato simples, devia ser, ao contrário, envolta de formalidades complexas, muito provavelmente ligadas à mística e às práticas mágicas. É em todo caso o que revela a análise etnológica feita nas sociedades "primitivas" contemporâneas, que se viu confirmar por um certo número de descobertas arqueológicas. Pode-se, portanto, supor que nas culturas pastorais a idéia de boi-padrão (moeda de sangue) sucedeu à idéia de "boi de sacrifício", ela mesma ligada ao valor intrínseco estimado do animal. </div>
<div align="justify">
Em contrapartida, nas ilhas do Pacífico as mercadorias foram estimadas em colares de pérolas ou de conchas. Após um certo período, começou-se por trocar faixas de tecido por animais ou objetos. O tecido era a moeda; a unidade era o palmo da fita de duas vezes oitenta fios de largura.<br />Tais métodos apresentavam, contudo, sérias dificuldades de aplicação. Assim, à medida que o comércio se desenvolvia, os metais desempenharam um papel cada vez maior nas transações comerciais, vindo a tornar-se no fim das contas a "moeda de troca" preferida dos vendedores e compradores. E as avaliações das diversas mercadorias passaram a ser feitas quantitativamente pelo peso, cada uma delas referindo a uma espécie de peso-padrão relativo a um ou a outro metal. </div>
<div align="justify">
Igualmente no Egito faraônico, os gêneros e as mercadorias foram freqüentemente estimados e pagos em metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata), que se dividia inicialmente em pepitas e palhetas. A avaliação era feita também sob a forma de lingotes ou de anéis, cujo valor se determinava em seguida pela pesagem. </div>
<div align="justify">
Até o momento não somente tratamos de um simples escambo, mas também um verdadeiro sistema econômico. A partir de então, graças ao padrão de metal, as mercadorias passaram a não mais ser trocadas ao simples prazer dos contratantes ou segundo usos consagrados freqüentemente arbitrários, mas em função de seu "justo preço". </div>
<div align="justify">
Até então, tratava-se somente de introduzir nas transações e nos atos jurídicos uma espécie de peso-padrão, unidade de valor à qual o preço de cada uma das mercadorias ou ações consideradas era referido. Partindo desse princípio, tal metal ou tal outro podia então servir em toda ocasião como "salário", "multa" ou como "valor de troca", e no caso da "multa", algum tipo de cálculo de juros primário era utilizado para se obter um certo valor para a mesma. </div>
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Aprendendo a contar abstratamente e agrupar todas as espécies de elementos seguindo o princípio da base, o homem aprendeu assim a estimar, avaliar e medir diversas grandezas (pesos, comprimentos, áreas, volumes, capacidades etc.). Aprende igualmente a atingir e conceber números cada vez maiores, antes mesmo de ser capaz de dominar a idéia do infinito. </div>
<div align="justify">
Pôde elaborar também várias técnicas operatórias (mentais, concretas e, mais tarde, escritas) e erguer os primeiros rudimentos de urna aritmética inicialmente prática, antes de tornar-se abstrata e conduzir à álgebra - onde hoje temos a Matemática Financeira amplamente desenvolvida. </div>
<div align="justify">
Foi-lhe também aberta a via para a elaboração de um calendário e de uma astronomia, bem como para o desenvolvimento de uma geometria estruturada inicialmente em medidas de comprimento, áreas e volumes, antes de ser especulativa e axiomática. Numa palavra, a aquisição desses dados fundamentais permitiu pouco a pouco à humanidade tentar medir o mundo, compreendê-lo um pouco melhor, colocar a seu serviço alguns de seus inúmeros segredos e organizar, para desenvolvê-la, sua economia. </div>
<div align="justify">
<b><span style="font-size: small;"><br /></span></b></div>
<div align="justify">
<b><span style="font-size: small;">IV-) Os Bancos </span></b></div>
<div align="justify">
O surgimento dos bancos esta diretamente ligado ao cálculo de juros compostos e o uso da Matemática Comercial e Financeira de modo geral. Na época em que o comércio começava a chegar ao auge, uma das atividades do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. Nos diversos países eram cunhadas moedas de ouro e prata. </div>
<div align="justify">
Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras de conquista, as moedas dos diferentes países eram trocadas, mas o pagamento só podia ser efetuado com dinheiro do país específico. Conseqüentemente, dentro das fronteiras de cada país, as moedas estrangeiras deviam ser cambiadas por dinheiro deste país. Por outro lado, os comerciantes e outras pessoas possuidoras de muito dinheiro, que viajavam ao exterior, precisavam de dinheiro de outros países, que compravam com moeda nacional. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se exclusivamente ao câmbio de dinheiro, ou seja, ao comércio de dinheiro. </div>
<div align="justify">
Aconteceu então a divisão de trabalho dentro do campo do comércio: paralelamente aos comerciantes que se ocupavam com a troca de artigos comuns, surgiram os cambistas, isto é, comerciantes dedicados ao intercâmbio de uma mercadoria específica: o dinheiro. </div>
<div align="justify">
Num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas somas de dinheiro nas mãos dos cambistas. Com o tempo, foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Naquela época, e devido à deficiente organização das instituições responsáveis pela segurança social do indivíduo, não era recomendável que tivesse em sua casa muitas moedas de ouro e prata. Estas pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro. </div>
<div align="justify">
Era natural que a seguinte idéia ocorresse: "Porque estas grandes somas de dinheiro haverão de permanecer em meu poder sem qualquer lucro para mim? - Ai então percebe-se que a palavra "lucro" está diretamente interligada com o conceito de finanças - É pouco provável que todos os proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediata de todo seu dinheiro. Emprestarei parte deste dinheiro a quem pedir, sob a condição de que seja devolvido num prazo determinado. E como meu devedor empregará o dinheiro como quiser durante este é natural que eu obtenha alguma vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento do prazo estipulado, uma soma adicional".<br />Vimos que neste pensamento do mercador, a idéia de lucro já aparece fortemente. </div>
<div align="justify">
Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma razão, se encontravam sem dinheiro - comerciantes, senhores feudais e não raras vezes o próprio rei ou o erário nacional -, recorriam ao cambista que lhes emprestava grandes somas de dinheiro a juros "razoáveis". </div>
<div align="justify">
O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais -propriamente, era a "compensação pelo temor" de quem dava dinheiro emprestado e assim se expunha a um grande risco. Entretanto estes juros alcançaram, em alguns casos, quantias incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100 por cento e na Idade.Média, de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação direta com a necessidade do solicitante ou do montante da soma. </div>
<div align="justify">
Estes juros foram chamados - com toda justiça - de usurário, o dinheiro recebido emprestado, de capital usurário e o credor, de usureiro. O cambista exercia sua profissão sentado num banco de madeira em algum lugar do mercado. Daí a origem da palavra "banqueiro" e "banco". Os primeiros bancos de verdade da História foram criados pelos sacerdotes. </div>
<div align="justify">
No mundo antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos e romanos, estava amplamente difundido o costume segundo o qual os cidadãos mais abastados deviam confiar a custódia de seu ouro aos sacerdotes. </div>
<div align="justify">
A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos antigos sacerdotes, que considerava.pagãos, mas desenvolveu-as em grande escala. A Igreja Católica criou o "Banco do Espírito Santo", corri um fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita a exação, aos fiéis, dos chamados "denários de São Pedro" destinados a satisfazer as frugalidades do Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e indulgências, assim como para a realização de transações relacionadas com os empréstimos, em outras palavras, com a usura. </div>
<div align="justify">
Ao mesmo tempo lançou um anátema e condenou às masmorras da inquisição os cidadãos que emprestavam dinheiro a juros, mesmo que este juro fosse menor do que aquele que ela exigia por seu dinheiro. A Igreja proibia a seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro, invocando como autoridade a Sagrada Escritura, onde se lê: "Amai pois vossos inimigos e fazei o bem, e emprestei, nada esperando disso" (São Lucas, 6,35). Na realidade, esta proibição era motivada por um interesse econômico muito "mundano": a Igreja ambicionava assegurar para si o monopólio absoluto na exação de juros. </div>
<div align="justify">
Apesar das maldições e ameaças com o fogo eterno, a Igreja não pôde conter a avidez por ganhos e lucros das pessoas, tanto mais que o próprio desenvolvimento do comércio exigia a criação de uma ampla rede bancária. As iniciadoras desta atividade foram as cidades-estado da Itália, que tinham um vasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos mais distantes confins do mundo conhecido. </div>
<div align="justify">
O primeiro banco privado foi fundado pelo duque. Vitali em 1157, em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. A Igreja não teve outra alternativa senão aceitar a realidade dos fatos. Assim os bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Matemática Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois sem essa motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de Matemática não estivesse tão avançada nos dias atuais. </div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<b><span style="font-size: small;">IV-) As Primeiras Aritméticas </span></b></div>
<div align="justify">
Como conseqüência do interesse pela educação e do crescimento enorme da atividade comercial no Renascimento, começaram a aparecer muitos textos populares de aritmética. Três centenas desses livros foram impressos na Europa antes do século XVII. Essas obras eram de dois tipos, basicamente aquelas escritas em latim por intelectuais de formação clássica, muitas vezes ligados a escolas da igreja, e outras escritas no vernáculo por professores práticos interessados em preparar jovens para carreiras comerciais.<br />A mais antiga aritmética impressa é a anônima e hoje extremamente rara Aritmética de Treviso, publicada em 1478 na cidade de Treviso. Trata-se de uma aritmética amplamente comercial, dedicada a explicar a escrita dos números, a efetuar cálculos com eles e que contém aplicações envolvendo sociedades e escambo. Como os "algoritmos" iniciais do século XIV, ela também inclui questões recreativas. Foi o primeiro livro de matemática a ser impresso no mundo ocidental. </div>
<div align="justify">
Bem mais influente na Itália que a Aritmética de Treviso foi a aritmética comercial escrita por Piero Borghi. Esse trabalho altamente útil foi publicado em Veneza em 1484 e alcançou pelo menos dezessete edições, a última de 1557. Em 1491 foi publicada em Florença uma aritmética menos importante, de autoria de Filippo Calandri, porém interessante para nós pelo fato de conter o primeiro exemplo impresso do moderno processo de divisão e também os primeiros problemas ilustrados a aparecerem na Itália.<br /><br /><br /></div>
<hr color="#C0C0C0" size="0" style="text-align: start; text-indent: 0px;" />
<div align="justify">
<i>Trabalho fornecido por Jean Piton Gonçalves</i></div>
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<u>Bibliografia</u>:</div>
<div align="justify">
Robert, Jozsef – A Origem do Dinheiro, Global Editora – 1982 </div>
<div align="justify">
Ifrah, Georges – História Universal dos Algarismos, Ed. Nova Fronteira </div>
<div align="justify">
Mattos, Antônio Carlos M. – O Modelo Matemático dos Juros. Uma Abordagem Sistêmica , Ed Vozes – Petrópolis </div>
<div align="justify">
Smith, D.E. – History of Mathematics – Dover Publications, INC – New York </div>
</div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-12774960150882432712013-03-25T14:53:00.003-07:002013-03-25T14:53:37.531-07:00História da Álgebra<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><big><big><big><strong>HISTÓRIA DA ÁLGEBRA</strong></big></big></big><span style="font-size: x-small;">(uma visão geral)</span></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: black;"><br /></span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: xx-small;">Fonte: Tópicos de História da Matemática - <strong>John K. Baumgart</strong></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Estranha e intrigante é a origem da palavra <span style="color: blue;">"álgebra"</span>. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego <i>arithmos</i> ("número"). <i><span style="color: blue;">Álgebra</span></i> é uma variante latina da palavra árabe <i>al-jabr</i> (às vezes transliterada <i>al-jebr</i>), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como <i>Al-jabr</i>.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br />Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br /><span style="color: blue;">x<sup>2</sup> + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x<sup>3</sup></span><br /><br /><i>al-jabr fornece</i><br /><span style="color: blue;">x<sup>2</sup> + 7x + 4 = 4 + 5x<sup>3</sup></span><br /><br />e <i>al-muqabalah</i> fornece<br /><span style="color: blue;">x<sup>2</sup> + 7x = 5x<sup>3</sup></span><br /><br />Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".<br />Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:<br /><span style="color: blue;">(1) Álgebra antiga (elementar)</span> é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.<br /><span style="color: blue;">(2) Álgebra moderna (abstrata)</span> é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.<br />De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.</span></div>
<hr align="center" />
<h2 align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif;">
<span style="color: green; font-family: Arial; font-size: x-small;">Equações algébricas e notação</span></h2>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br />O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: <i><span style="color: blue;">o retórico</span></i> (ou verbal), o<i><span style="color: blue;">sincopado</span></i> (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o <i><span style="color: blue;">simbólico</span></i>. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de <i>Pi</i>, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br /><span style="color: red;">[1]</span> <i>Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.</i></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<table border="1" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 100%px;"><tbody>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: red;">[2]</span> <i>[Dado] 32 soma; 252 área</i>.</span></td><td width="50%"><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">x+y=k</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: #0000a0;">xy=P } ... </span><span style="color: red;">(A)</span></span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: red;">[3]</span> <i>[Resposta] 18 comprimento; 14 largura</i>.</span></td><td width="50%"> </td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: red;">[4]</span> Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16].</span></td><td width="50%"><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">k/2</span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">16 x 16 = 256</span></td><td width="50%"><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">(k/2)<sup>2</sup></span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">256 - 252 = 4</span></td><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: #0000a0;">(k/2)<sup>2</sup> - P = t<sup>2</sup> } ... </span><span style="color: red;">(B)</span></span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A raiz quadrada de 4 é 2.</span></td><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img alt="raiz.jpg (2149 bytes)" height="58" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/raiz.jpg" style="border: 0px;" width="110" /></span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">16 + 2 = 18 comprimento.</span></td><td width="50%"><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">(k/2) + t = x.</span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">16 - 2 = 14 largura</span></td><td width="50%"><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">(k/2) - t = y.</span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: red;">[5]</span> <i>[Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura</i>.</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">18 x 14 = 252 área</span></td><td width="50%"><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">((k/2)+t) ((k/2)-t)</span><span style="color: #0000a0; font-family: Arial; font-size: x-small;">= (k<sup>2</sup>/4) - t<sup>2</sup> = P = xy.</span></td></tr>
</tbody></table>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Nota-se que na etapa<span style="color: red;"> [1]</span> o problema é formulado, na <span style="color: red;">[2]</span> os dados são apresentados, na <span style="color: red;">[3]</span> a resposta é dada, na <span style="color: red;">[4]</span> o método de solução é explicado <em>com números</em> e, finalmente, na <span style="color: red;">[5]</span> a resposta é testada.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema <span style="color: red;">(A)</span>. O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para <em>y</em> (em termos de <em>x</em>), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em <em>x</em>; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam <em>x</em> e <em>y</em> em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) <em>t</em> fazendo <em>x=(k/2)+t</em> e <em>y=(k/2)-t</em>.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Então o produto</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<em><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)<sup>2</sup> - t<sup>2</sup> = P</span></em></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">levava-os à relação <span style="color: red;">(B)</span>:</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<em><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">(k/2)<sup>2</sup> - P = t<sup>2</sup></span></em></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.</span></div>
<hr style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;" />
<h2 align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif;">
<span style="color: green; font-family: Arial; font-size: x-small;">Álgebra no Egito</span></h2>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.</span></div>
<hr style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;" />
<h2 align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif;">
<span style="color: green; font-family: Arial; font-size: x-small;">Álgebra geométrica grega</span></h2>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<em><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">(a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup></span></em></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em <em>Elementos</em>, livro II, proposição 4:</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><em>Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém.</em> [Isto é, <em>(a+b)<sup>2</sup>= a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup></em>.]</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a<sup>2</sup> era realmente um quadrado.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img alt="Figura1.jpg (4336 bytes)" height="152" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/figura1.jpg" style="border: 0px;" width="126" /></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Do livro VI dos <em>Elementos</em>, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><em>Dada uma linha reta AB </em>[isto é, x+y=k],<em> construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área</em>[xy = P]<em>, admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo</em> [o quadrado BF na Figura 2], <em>semelhante a um dado retângulo </em>[que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img alt="Figura2.jpg (11574 bytes)" height="192" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/figura2.jpg" style="border: 0px;" width="266" /></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<table border="1" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 100%px;"><tbody>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Bissecte AB em M:</span></td><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">k/2</span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Construa o quadrado MBCD:</span></td><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">(k/2)<sup>2</sup></span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:</span></td><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">t<sup>2</sup> = (k/2)<sup>2</sup> - P</span></td></tr>
<tr><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Então é claro que</span></td><td width="50%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">y = (k/2) - t</span></td></tr>
</tbody></table>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que <em>raiz quadrada de 2</em> não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado <em>Secções cônicas</em> contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.</span></div>
<hr style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;" />
<h2 align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif;">
<span style="color: green; font-family: Arial; font-size: x-small;">Álgebra na Europa</span></h2>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.</span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:</span></div>
<ol style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<li><div align="center">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;</span></div>
</li>
<li><div align="center">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;</span></div>
</li>
<li><div align="center">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.</span></div>
</li>
</ol>
<b style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;"></b><span style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;"></span><br />
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-39981220334272356902013-03-22T19:04:00.003-07:002013-03-22T19:04:27.120-07:00HISTÓRIA DA GEOMETRIA<center style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<div align="center">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small; text-indent: 15px;">Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.</span></div>
</center>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span></div>
<h2 align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Uma medida para a vida</span></h2>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">As origens da Geometria (do grego <em>medir a terra</em>) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.</span></div>
<h3 align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">O corpo como unidade</span></h3>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.</span></div>
<h3 align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Ângulos e figuras</span></h3>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>, isto é, 9+16=25.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de <em>esquadros</em>.</span></div>
<h3 align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Para medir superfícies</span></h3>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como <em>triangulação</em>: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img alt="Geom1.jpg (18831 bytes)" height="220" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/geom1.jpg" style="border: 0px;" width="169" /></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: black;">De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como <em>raio</em> - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: </span><span style="color: blue;">a)</span><span style="color: #0000a0;"> o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; </span><span style="color: blue;">b)</span><span style="color: #0000a0;"> para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.</span></span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: black;">O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo </span>p <span style="color: black;">("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra <em>peripheria</em>, significando circunferência.</span></span></div>
<h3 align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Novas figuras</span></h3>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Uma dessas figuras foi chamada <em>polígono</em>, do grego <em>polygon</em>, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.</span></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<br /></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="168" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/geom2.jpg" style="border: 0px;" width="177" /></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-43232894532425935802013-03-14T20:53:00.001-07:002013-03-14T20:53:19.210-07:00HISTÓRIA DOS NÚMEROS<center style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<div align="center">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small; text-indent: 15px;">A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.</span></div>
</center>
<h3 align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: green; font-family: Arial; font-size: x-small;">A LINGUAGEM DOS NÚMEROS</span></h3>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.</span></div>
<h3 align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">O corvo assassinado</span></h3>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido <em>visual</em> direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido <em>tátil</em> é ainda mais limitado.</span></div>
<h3 align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Limitações vêm de longe</span></h3>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de <em>um</em>, <em>dois</em> e <em>muitos</em>, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa <em>thrice</em>, do mesmo modo que a palavra latina <em>ter</em>, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas <em>tres</em> (três) e <em>trans</em> (mais além). O mesmo acontece no francês:<em>trois</em> (três) e <em>très</em> (muito).</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de <em>contar</em>, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.</span></div>
<h3 align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">O número sem contagem</span></h3>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de <em>correspondência biunívoca</em>. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "<em>cálculo</em>", da palavra latina <em>calculus</em>, que significa pedra.</span></div>
<h3 align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">A idéia de correspondência</span></h3>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">A <em>correspondência biunívoca</em> resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">A gente aponta para um objeto e diz: <em>um</em>; aponta para outro e diz: <em>dois</em>; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo <em>um</em> mas por <em>zero</em>, e escreveria 0,1,2,3,4...</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O <em>zero</em> não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.</span></div>
<h3 align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; text-indent: 15px;">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Do relativo ao absoluto</span></h3>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o <em>número</em> no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Criando <em>conjuntos modelos</em>, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos <em>nomes</em> dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.</span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-indent: 15px;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: x-small;">Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de <em>cinco</em> (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.</span></div>
<center style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<h4 align="center">
<span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:</span></h4>
<table border="1" style="font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 100%px;"><tbody>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Nº</span></td><td align="center" width="14%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Grego arcaico</span></td><td align="center" width="14%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Latim</span></td><td align="center" width="14%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Alemão</span></td><td align="center" width="14%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Inglês</span></td><td align="center" width="15%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Francês</span></td><td align="center" width="15%"><span style="color: #008040; font-family: Arial; font-size: x-small;">Russo</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">1</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">en</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">unus</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">eins</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">one</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">un</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">odyn</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">2</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">duo</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">duo</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">zwei</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">two</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">deux</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">dva</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">3</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">tri</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">tres</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">drei</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">three</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">trois</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">tri</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">4</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">tetra</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">quatuor</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">vier</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">four</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">quatre</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">chetyre</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">5</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">pente</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">quinque</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">fünf</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">five</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">cinq</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">piat</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">6</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">hex</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">sex</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">sechs</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">six</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">six</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">chest</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">7</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">hepta</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">septem</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">sieben</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">seven</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">sept</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">sem</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">8</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">octo</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">octo</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">acht</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">eight</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">huit</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">vosem</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">9</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">ennea</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">novem</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">neun</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">nine</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">neuf</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">deviat</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">10</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">deca</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">decem</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">zehn</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">ten</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">dix</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">desiat</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">100</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">hecaton</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">centum</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">hundert</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">hundred</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">cent</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">sto</span></td></tr>
<tr><td align="center" width="14%"><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: x-small;">1000</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">xilia</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">mille</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">tausend</span></td><td width="14%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">thousand</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">mille</span></td><td width="15%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">tysiatsa<br /></span></td></tr>
</tbody></table>
</center>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-30425187958048549972013-03-14T20:46:00.002-07:002013-03-14T20:46:36.191-07:00PROBABILIDADE<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small; text-align: justify;"> A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <b><span style="color: navy;">Experimento Aleatório</span></b></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Espaço Amostral</b></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Exemplo:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}</span></div>
<ol start="1" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.</span></li>
<li class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Idem, o evento em que:</span></li>
</ol>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 72pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">a) A ou B ocorrem;</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 72pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">b) B e C ocorrem;</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 72pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">c) Somente B ocorre.</span></div>
<ol start="3" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos</span></li>
</ol>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Resolução:</span></div>
<ol start="1" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};</span></li>
</ol>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 39.05pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 39.05pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.</span></div>
<ol start="2" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}</span></li>
</ol>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">(b) B e C = B <span style="font-family: Symbol; font-size: 12pt;">Ç</span> C = {R3,R5}</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; line-height: 16px; margin-left: 35.4pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">B <span style="font-family: Symbol; font-size: 12pt;">Ç </span>A<sup>c </sup><span style="font-family: Symbol; font-size: 12pt;">Ç </span>C<sup>c </sup>= {K3,K5,R2}</span></div>
<ol start="3" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A e C são mutuamente exclusivos, porque A <span style="font-family: Symbol; font-size: 12pt;">Ç </span>C = </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 12pt;">Æ<br /> </span></li>
</ol>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Conceito de probabilidade</b></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="45" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/probab1.gif" style="border: 0px;" width="229" /></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="45" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/probab2.gif" style="border: 0px;" width="273" /></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Propriedades Importantes:</b></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">1. Se A e A’ são eventos complementares, então:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><i>P( A ) + P( A' ) = 1</i></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="21" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/probab4.gif" style="border: 0px;" width="81" /></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Probabilidade Condicional</b></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Fórmula de Probabilidade Condicional</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><strong><em> P(E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub> e E<sub>3</sub> e ...e E<sub>n-1</sub> e E<sub>n</sub>)</em></strong> é igual a <em>P(E<sub>1</sub>).P(E<sub>2</sub>/E<sub>1</sub>).P(E<sub>3</sub>/E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>)...P(E<sub>n</sub>/E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub> e ...E<sub>n</sub>-1)</em>.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Onde P(E<sub>2</sub>/E<sub>1</sub>) é a probabilidade de ocorrer E<sub>2</sub>, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E<sub>1</sub>;</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 18pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">P(E<sub>3</sub>/E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>) é a probabilidade ocorrer E<sub>3</sub>, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>;</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">P(Pn/E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub> e ...E<sub>n</sub>-1) é a probabilidade de ocorrer E<sub>n</sub>, condicionada ao fato de já ter ocorrido E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>...E<sub>n</sub>-1.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Exemplo:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Resolução:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Assim:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span style="color: navy;">P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87</span></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span style="color: navy;"><b>Eventos independentes</b></span></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Dizemos que E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub> e ...E<sub>n-1</sub>, E<sub>n</sub> são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span style="color: navy;">P(E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub> e E<sub>3</sub> e ...e E<sub>n</sub>-1 e E<sub>n</sub>) = P(E<sub>1</sub>).P(E<sub>2</sub>).p(E<sub>3</sub>)...P(E<sub>n</sub>)</span></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Exemplo:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Resolução:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Probabilidade de ocorrer a união de eventos</b></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">P(E<sub>1</sub> ou E<sub>2</sub>) = P(E<sub>1</sub>) + P(E<sub>2</sub>) - P(E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>)</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">De fato, se existirem elementos comuns a E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E<sub>1</sub>) e P(E<sub>2</sub>). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E<sub>1</sub> e E<sub>2</sub>).</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">P(E1 ou E<sub>2</sub> ou E<sub>3</sub> ou ... ou E<sub>n</sub>) = P(E<sub>1</sub>) + P(E<sub>2</sub>) + ... + P(E<sub>n</sub>)</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Considerando os eventos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<br /></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A: sair 8 e P(A) = 4/52</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">B: sair um rei e P(B) = 4/52</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; margin-left: 17.75pt; text-indent: 0.25pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-59893557241999956662013-03-13T14:01:00.000-07:002013-03-13T14:01:04.916-07:00Dicas para Cálculos<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 1:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicar um número por 10</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita.<br /><span style="color: #0000a0;">Exemplo 1</span>: 16 x 10 = 160<br /><span style="color: #0000a0;">Exemplo 2</span>: 15,567 x 10 = 155,67</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 2:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue; font-size: xx-small;">Multiplicar um número por 10<sup>n</sup>:</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue;"> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><span style="color: #400040;">Basta deslocar a vírgula<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="color: blue;"><strong>n</strong></span><span style="color: #400040;"><span class="Apple-converted-space"> </span>casas decimais para a direita.</span><span style="color: #0000a0;">Exemplo 1:</span><span style="color: #400040;"> 16 x 10<sup>3</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= 16000</span><span style="color: #0000a0;">Exemplo 2:</span><span style="color: #400040;"> 15,567 x 10<sup>4</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= 155670</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040; font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 12 x 100. Sabemos que 100=10<sup>2</sup>, então:<br />12 x 100 = 12 x 10<sup>2</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= 1200.</span></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: blue; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><hr color="#C0C0C0" size="1" />
</span><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;"><strong>DICA 3:</strong></span><span style="color: blue; font-size: xx-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>Dividir um número por 10:</span></span></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue;"> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><span style="color: #400040;">Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda.</span><span style="color: #0000a0;">Exemplo 1</span><span style="color: #400040;">: 16 / 10 = 1,6</span><span style="color: #0000a0;">Exemplo 2:</span><span style="color: #400040;"> 15,567 / 10 = 1,5567</span></span></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 4:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue; font-size: xx-small;">Dividir um número por 10<sup>n</sup>:</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue;"> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><span style="color: #400040;">Basta deslocar a vírgula<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="color: blue;"><strong>n</strong></span><span style="color: #400040;"><span class="Apple-converted-space"> </span>casas decimais para a esquerda.</span><span style="color: #0000a0;">Exemplo 1:</span><span style="color: #400040;"> 16 / 10<sup>3</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= 0,016</span><span style="color: #0000a0;">Exemplo 2:</span><span style="color: #400040;"> 15,567 / 10<sup>2</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= 0,15567</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040; font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 12 / 1000. Sabemos que 1000=10<sup>3</sup>, então:<br />12 / 1000 = 12 / 10<sup>3</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= 0,012.</span></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: blue; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><hr color="#C0C0C0" size="1" />
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 5:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span>Multiplicar um número por 11:</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Quando o número for de<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: #008040;">2 algarismos</span>, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11.</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles:<br />a resposta é<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>286</strong>. Portanto 26 x 11 = 286.</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<u><span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Outros exemplos:</span></u><span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">1) 34 x 11<br /><span style="color: red;">somamos os algarismos do número 34:</span><span class="Apple-converted-space"> </span>3+4=7<br /><span style="color: red;">colocamos o resultado no meio deles:</span><span class="Apple-converted-space"> </span><strong>3</strong>7<strong>4</strong>. Portanto 34x11 = 374.</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">2) 81 x 11<br /><span style="color: red;">somamos os algarismos do número 81:</span><span class="Apple-converted-space"> </span>8+1=9<br /><span style="color: red;">colocamos o resultado no meio deles:</span><span class="Apple-converted-space"> </span><strong>8</strong>9<strong>1</strong>. Portanto 81x11 = 891.</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">3) 37 x 11<br /><span style="color: red;">somamos os algarismos do número 37:</span><span class="Apple-converted-space"> </span>3+7=10</span></div>
</span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: red; font-family: Verdana; font-size: xx-small;">C</span><span style="color: blue;"><span style="font-size: xx-small;"><span style="color: red;">omo deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número:</span><span class="Apple-converted-space"> </span><strong>4</strong>0<strong>7</strong>. Portanto 37x11 = 407.</span></span></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: blue; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Quando o número for de<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: #008040;">3 algarismos</span>, então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11.</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=<strong>4</strong>. Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=<strong>8</strong>. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio:<br />1<strong>48</strong>5. Portanto 135 x 11 = 1485.</span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
</span><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 6:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicar um número por 9</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">440</span>.<br />Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 =<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">396</span>.<br />Portanto 44 x 9 = 396.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><u>Outros exemplos:</u><br /><span style="color: blue;">27 x 9</span><span class="Apple-converted-space"> </span>= 270-27 = 243.<br /><span style="color: blue;">56 x 9</span><span class="Apple-converted-space"> </span>= 560-56 = 504.<br /><span style="color: blue;">33 x 9</span><span class="Apple-converted-space"> </span>= 330-33 = 297.</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 7:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicar um número por 99</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">4400</span>.<br />Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 =<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">4356</span>.<br />Portanto 44 x 99 = 4356.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><u>Outros exemplos:</u><br /><span style="color: blue;">27 x 99</span><span class="Apple-converted-space"> </span>= 2700-27 = 2673<br /><span style="color: blue;">56 x 99</span><span class="Apple-converted-space"> </span>= 5600-56 = 5544<br /><span style="color: blue;">33 x 99</span><span class="Apple-converted-space"> </span>= 3300-33 = 3267</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 8:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicar um número por 101</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Quando um número de<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: #008040;">2 algarismos</span><span class="Apple-converted-space"> </span><strong>AB</strong><span class="Apple-converted-space"> </span>for multiplicado por 101, o resultado será<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>ABAB</strong>. Alguns exemplos:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">43 x 101 = 4343<br />32 x 101 = 3232<br />14 x 101 = 1414</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 9:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicar 2 números<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="color: #008040;">(de 2 algarismos)</span><span style="color: blue;"><span class="Apple-converted-space"> </span>que possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10.</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35, 87x83, 94x96, etc.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Devem ser seguidos os seguintes passos:<br /><strong><span style="color: blue;">1)</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span>Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele;<br /><span style="color: blue;"><strong>2)</strong></span><span class="Apple-converted-space"> </span>Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;<br /><strong><span style="color: blue;">3)</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span>Juntamos as duas partes.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:<br />Passo<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;"><strong>1</strong></span>:<br />5x6 =<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">30</span><br />Passo<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;"><strong>2</strong></span>:<br />3x7 =<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">21</span><br />Passo<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;"><strong>3</strong></span>:<br />Juntamos os dois números:<span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">3021</span></strong>.<br />Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">Outro exemplo: 94 x 96:<br />Passo<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;"><strong>1</strong></span>:<br />9x10 =<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">90</span><br />Passo<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;"><strong>2</strong></span>:<br />4x6 =<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">24</span><br />Passo<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;"><strong>3</strong></span>:<br />Juntamos os dois números:<span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">9024</span></strong>.<br />Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada!</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 10:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Soma dos<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="color: red;">n</span><span style="color: blue;"><span class="Apple-converted-space"> </span>primeiros números naturais ímpares:</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">A soma dos<span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">n</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span>primeiros números naturais ímpares é igual a<span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">n<sup>2</sup></span></strong>. Exemplos:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">1) Soma dos<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">5</span><span class="Apple-converted-space"> </span>primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9):<br />A soma é igual a<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">5<sup>2</sup></span><span class="Apple-converted-space"> </span>=<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">25</span>.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;">2) Soma dos<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">15</span><span class="Apple-converted-space"> </span>primeiros números naturais ímpares:<br />A soma é igual a<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: red;">15<sup>2</sup></span><span class="Apple-converted-space"> </span>=<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">225</span>.</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 11:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicar um número por 15</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Some o número com a sua metade, e multiplique o resultado por 10.<br />Exemplos:<span class="Apple-converted-space"> </span><br />14×15 =(14+7)×10=210<br />10,4×15=(10,4+5,2)×10=15,6×10=156</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><br /></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 12:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Tabuada do 9</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Se você tem dificuldades para decorar a tabuada do 9, pode fazer o seguinte:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">1) Considere o número anterior ao qual você irá multiplicar o 9.<br />2) Veja quanto falta para ele chegar ao 9.<br />3) Junte os dois números encontrados.<span class="Apple-converted-space"> </span><br /> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Por exemplo:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">1) 9 x 2 => o número anterior ao dois é o<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>1</strong>.<br />2) Para o 1 chegar ao 9, faltam<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>8</strong>.<br />3) Agora basta unir os dois números:<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>18</strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Portanto,<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>9 x 2 = 18</strong>.<br /> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Da mesma forma pode ser feito para os outros números, até chegar em 9x9:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">1) 9 x 9 => o número anterior ao nove é o<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>8</strong>.<br />2) Para o 8 chegar ao 9, falta<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>1</strong><br />3) Agora basta unir os dois números:<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>81</strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Portanto,<span class="Apple-converted-space"> </span><strong>9 x 9 = 81</strong>.</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 13:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Dividir qualquer número por 5</span>:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">Basta multiplicar o número por 2 e "arrastar" a vírgula para a esquerda.<br />Ex: 345 / 5 = 345 * 2 = 690. Arrastando a vírgula, temos 69,0.<br />Ex: 1526 / 5 = 1526 * 2 = 3052. Arrastando a vírgula, temos 305,2.</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 14:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Como descobrir o próximo quadrado?</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;"><span class="style1">Some o quadrado anterior com duas vezes com o número do qual você quer descobrir o quadrado, e depois diminua uma unidade.</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;"><span class="style1">Ex: Se 3</span></span><span style="color: #400040;"><span class="style1"><sup>2</sup></span></span><span style="color: #400040;"><span class="style1">=9, quanto vale 4<sup>2</sup>?</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;"><span class="style1">Aplicando a regra, temos:<span class="Apple-converted-space"> </span><br />9 + 4 + 4 = 17</span></span></div>
<div class="style1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;">17 - 1 = 16</span></div>
<div class="style1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;">Portanto, 4</span><span style="color: #400040;"><sup>2</sup></span><span style="color: #400040;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= 16</span></div>
<div class="style1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;"><br />Outro exemplo:<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="color: #400040;">5</span><span style="color: #400040;"><sup>2</sup></span><span style="color: #400040;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= ?</span></div>
<div class="style1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #400040;">16 + 5 + 5 - 1 = 25</span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 15:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Adição: Arredondamento da 2ª parcela para um múltiplo de 10 conveniente:</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
Arredonda-se a 2ª parcela para o 1ª múltiplo de 10 inferior a esse número. Posteriormente, acrescenta-se a diferença entre o número original e o número arredondado.<br /> <span class="Apple-converted-space"> </span><br />Exemplos:</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
23 + 36 = 23 + 30 + 6 = 53 + 6 = 59</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
357 + 459 = 357 + 450 + 9 = 807 + 9 = 816<br /> </div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
Observação: Quando for conveniente, arredonda-se a 2ª parcela para o 1ª múltiplo de 10 superior a esse número. Posteriormente, subtrai-se a diferença entre o número arredondado e o número original.<br /> </div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
Exemplo:</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
357 + 459 = 357 + 460 - 1 = 817 – 1 = 816</div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: xx-small;"><img alt="star.gif (136 bytes)" height="10" src="http://www.somatematica.com.br/figuras/star.gif" style="border: 0px;" width="10" /><span class="Apple-converted-space"> </span><strong><span style="color: red;">DICA 16:</span></strong><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: blue;">Multiplicação por números terminados em 0:</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
Multiplicam-se as partes sem os zeros finais e acrescenta-se a quantidade de zeros finais.</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
Exemplos:</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
23 x 10 = (23 x 1)0 = 230</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
45 x 20 = (45 x 2)0 = 900</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
15 x 300 = (15 x 3)00 = 4500</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
30 x 90 = (3 x 9)00 = 2700</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: blue; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
</span>Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-9479710747137822762013-03-13T13:55:00.004-07:002013-03-13T13:55:44.601-07:00Produto escalar, Propriedades do produto escalar, Ângulos entre dois vetores, Vetores ortogonais<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: small;">Produto escalar</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">u.v = a.c + b.d</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: x-small;"><b><span style="color: #006600; font-family: Arial;">Exemplos</span></b><span style="font-family: Arial;">: </span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Propriedades do produto escalar</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Quaisquer que sejam os vetores,<span class="Apple-converted-space"> </span><b>u</b><span class="Apple-converted-space"> </span><b>v</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>w</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e k escalar:<br /> </span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<table bgcolor="#F7F7F7" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 61%px;"><tbody>
<tr><td width="100%"><span style="color: green;"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">v.w = w.v<br />v.v = |v| |v| = |v|<sup>2</sup>u.(v+w) = u.v + u.w<br />(kv).w = v.(kw) = k(v.w)<br />|kv| = |k| |v|<br />|u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz)<br />|u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular)</span></span><div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><u>Obs</u>:<span class="Apple-converted-space"> </span><b><=</b><span class="Apple-converted-space"> </span>significa menor ou igual</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Ângulo entre dois vetores</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">u.v = |u| |v| cos(x)</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">onde x é o ângulo formado entre u e v.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="100" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/angulo2.gif" style="border: 0px;" width="100" /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="44" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/angulo.gif" style="border: 0px;" width="199" /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">desde que nenhum deles seja nulo.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetores ortogonais</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Dois vetores u e v são ortogonais se:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">u.v = 0</span></b></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-70262568380982602852013-03-13T13:55:00.001-07:002013-03-13T13:55:05.285-07:00Soma de vetores, Propriedades da soma de vetores, Diferença de vetores, Produto de um escalar por um vetor, Módulo de um vetor, Vetor unitário<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Soma de vetores</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">v + w = (a+c,b+d)</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Propriedades da soma de vetores<br /> </span></b></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<table bgcolor="#F7F7F7" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 95%px;"><tbody>
<tr><td width="100%"><div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-size: x-small;"><span style="color: green; font-family: Arial;">I) Comutativa</span><span style="font-family: Arial;"><span style="color: green;">:</span><span class="Apple-converted-space"> </span>Para todos os vetores u e v de R<sup>2</sup>:</span></span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> v + w = w + v</span></b></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-size: x-small;"><span style="color: green; font-family: Arial;"> II) Associativa:</span><span style="font-family: Arial;"><span class="Apple-converted-space"> </span>Para todos os vetores u, v e w de R<sup>2</sup>:</span></span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> u + (v + w) = (u + v) + w</span></b></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-size: x-small;"><span style="color: green; font-family: Arial;"> III) Elemento neutro:</span><span style="font-family: Arial;"><span class="Apple-converted-space"> </span>Existe um vetor O=(0,0) em R<sup>2</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>tal que para todo vetor u de R<sup>2</sup>, se tem:</span></span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> O + u = u</span></b></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-size: x-small;"><span style="color: green; font-family: Arial;"> IV) Elemento oposto:</span><span style="font-family: Arial;"><span class="Apple-converted-space"> </span>Para cada vetor v de R<sup>2</sup>, existe um vetor -v em R<sup>2</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>tal que:</span></span></div>
<div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> v + (-v) = O</span></b></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Diferença de vetores</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">v - w = (a-c,b-d)</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Produto de um escalar por um vetor</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se v=(a,b) é um vetor e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>c</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">c.v = (ca,cb)</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Propriedades do produto de escalar por vetor</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Quaisquer que sejam<span class="Apple-converted-space"> </span><b>k</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>c</b><span class="Apple-converted-space"> </span>escalares,<span class="Apple-converted-space"> </span><b>v</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>w</b><span class="Apple-converted-space"> </span>vetores:<br /> </span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<table bgcolor="#F7F7F7" border="0" cellpadding="3" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; height: 95px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 67%px;"><tbody>
<tr><td height="89" width="100%"><ul>
<li><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">1 v = v</span></li>
<li><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">(k c) v = k (c v) = c (k v)</span></li>
<li><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">k v = c v implica k = c, se v for não nulo</span></li>
<li><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">k (v+w) = k v + k w</span></li>
<li><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">(k + c)v = k v + c v</span></li>
</ul>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Módulo de um vetor</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="28" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/modulo.gif" style="border: 0px;" width="97" /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetor unitário</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial;">Existem dois vetores unitários que formam a<span class="Apple-converted-space"> </span><b>base canônica</b><span class="Apple-converted-space"> </span>para o espaço R<sup>2</sup>, que são dados por:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">i = (1,0) j = (0,1)</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial;">Para construir um vetor unitário<span class="Apple-converted-space"> </span><b>u</b><span class="Apple-converted-space"> </span>que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="44" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/unitario.gif" style="border: 0px;" width="52" /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Observação:</b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial;">Para construir um vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><b>u</b><span class="Apple-converted-space"> </span>paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se c = 0 então u será o vetor nulo.<br />Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.<br />Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.<br />Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-62410260302028565002013-03-13T13:54:00.001-07:002013-03-13T13:54:23.047-07:00Vetor unitário, Versor, Vetores colineares, Vetores coplanares<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetor Unitário</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Um vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>é unitário se |<img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" />| = 1.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Versor</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><i>Versor</i><span class="Apple-converted-space"> </span>de um vetor não nulo<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" />.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Por exemplo, tomemos um vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>de módulo 3.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="147" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/figura.gif" style="border: 0px;" width="245" /></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Os vetores<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/figura2.gif" style="border: 0px;" width="19" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/figura3.gif" style="border: 0px;" width="20" /><span class="Apple-converted-space"> </span>da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/figura2.gif" style="border: 0px;" width="19" />tem a mesma direção e o mesmo sentido de<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" />. Portanto, este é o versor de<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" />.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetores Colineares</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Dois vetores<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>são<span class="Apple-converted-space"> </span><i>colineares<span class="Apple-converted-space"> </span></i>se tiverem a mesma direção. Em outras palavras:<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" />e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>são colineares se tiverem representantes<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="200" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vcolineares.gif" style="border: 0px;" width="264" /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="164" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vcolineares2.gif" style="border: 0px;" width="176" /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetores Coplanares</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Se os vetores não nulos<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" />,<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetorw.gif" style="border: 0px;" width="16" /><span class="Apple-converted-space"> </span>(não importa o número de vetores) possuem representantes<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b>,<b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>EF</b><span class="Apple-converted-space"> </span>pertencentes a um mesmo plano<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: small;">p</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">, diz-se que eles são coplanares.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="128" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vcoplanares.gif" style="border: 0px;" width="309" /></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><i>Dois vetores</i><span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e <span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /> <i><span class="Apple-converted-space"> </span>quaisquer são são sempre coplanares</i>, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>pertencendo a um plano p que passa por este ponto.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Três vetores poderão ou não ser coplanares.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="128" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vcoplanares2.gif" style="border: 0px;" width="309" /></span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" />,<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetorw.gif" style="border: 0px;" width="16" /><span class="Apple-converted-space"> </span>são coplanares</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="215" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vncoplanares.gif" style="border: 0px;" width="304" /></span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetoru.gif" style="border: 0px;" width="14" />,<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetorw.gif" style="border: 0px;" width="16" /><span class="Apple-converted-space"> </span>não são coplanares</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-42104395935781929672013-03-13T13:53:00.001-07:002013-03-13T13:53:21.219-07:00Vetor, Vetores iguais, Vetor nulo, Vetores opostos<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b> Vetor</b></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Vetor determinado por um segmento orientado<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b>.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="157" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vetor.gif" style="border: 0px;" width="221" /></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Se indicarmos com<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>= {<b>XY</b>/<b>XY<span class="Apple-converted-space"> </span></b>~<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b>}</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> onde<span class="Apple-converted-space"> </span><b>XY</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é um segmento qualquer do conjunto.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> O vetor determinado por<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é indicado por<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="22" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor2.gif" style="border: 0px;" width="26" /><span class="Apple-converted-space"> </span>ou<span class="Apple-converted-space"> </span><b>B - A</b><span class="Apple-converted-space"> </span>ou<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" />.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> um mesmo vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="22" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor2.gif" style="border: 0px;" width="26" /><span class="Apple-converted-space"> </span>é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados<i>representantes</i><span class="Apple-converted-space"> </span>desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> As características de um vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /> são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o<i>módulo</i>, a<span class="Apple-converted-space"> </span><i>direção</i><span class="Apple-converted-space"> </span>e o<span class="Apple-converted-space"> </span><i>sentido</i><span class="Apple-converted-space"> </span>do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> O módulo de<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /> se indica por |<img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" />| .</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"> Vetores iguais</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Dois vetores<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="22" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor2.gif" style="border: 0px;" width="26" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor3.gif" style="border: 0px;" width="27" /><span class="Apple-converted-space"> </span>são iguais se, e somente se,<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB ~ CD</b>.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"> Vetor Nulo</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="23" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/snulo.gif" style="border: 0px;" width="13" />.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"> Vetores Opostos</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Dado um vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor.gif" style="border: 0px;" width="13" /><span class="Apple-converted-space"> </span>=<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="22" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor2.gif" style="border: 0px;" width="26" />, o vetor<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="23" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor4.gif" style="border: 0px;" width="25" /><span class="Apple-converted-space"> </span>é o oposto de<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="22" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svetor2.gif" style="border: 0px;" width="26" /><span class="Apple-converted-space"> </span>e se indica por <span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="23" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svon.gif" style="border: 0px;" width="37" /><span class="Apple-converted-space"> </span>ou por <span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/svon2.gif" style="border: 0px;" width="24" />.</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-80608506382538050072013-03-13T13:52:00.001-07:002013-03-13T13:52:36.865-07:00Direção e sentido, Segmentos Equipolentes, Propriedades da Equipolência<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Direção e Sentido</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: small;"><span class="Apple-converted-space"> </span></span>Dois segmentos orientados não nulos<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB<span class="Apple-converted-space"> </span></b>e<b><span class="Apple-converted-space"> </span>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="183" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/dss.gif" style="border: 0px;" width="278" /></span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="186" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/dss2.gif" style="border: 0px;" width="278" /></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> ou coincidentes</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<center>
<table border="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 90%px;"><tbody>
<tr><td width="50%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="95" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/dss3.gif" style="border: 0px;" width="230" /></span></div>
</td><td width="50%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="88" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/dss4.gif" style="border: 0px;" width="228" /></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<i><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Observações</span></i></div>
<ol style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" type="a">
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.</span></div>
</li>
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.</span></div>
</li>
</ol>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Segmentos Equipolentes</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Dois segmentos orientados<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB<span class="Apple-converted-space"> </span></b>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>são <i><span class="Apple-converted-space"> </span>equipolentes</i><span class="Apple-converted-space"> </span>quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Se os segmentos orientados<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>seja equipolente a<span class="Apple-converted-space"> </span><b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é necessário que<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b>//<b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AC</b>/<b>BD</b>, isto é,<span class="Apple-converted-space"> </span><b>ABCD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>deve ser um paralelogramo.</span></div>
<table border="0" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; letter-spacing: normal; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: auto; width: 100%px; word-spacing: 0px;"><tbody>
<tr><td width="50%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="131" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/seq2.gif" style="border: 0px;" width="134" /></span></div>
</td><td width="50%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="80" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/seq.gif" style="border: 0px;" width="197" /></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <i><span class="Apple-converted-space"> </span>Observações</i></span></div>
<ol style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" type="a">
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.</span></div>
</li>
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A equipolência dos segmentos<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>CD</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é representada por<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span><b>~ CD</b>.</span></div>
</li>
</ol>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Propriedades da Equipolência</span></b></div>
<ol style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" type="I">
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>AB ~ AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>(reflexiva).</span></div>
</li>
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB ~ CD</b>,<span class="Apple-converted-space"> </span><b>CD ~ AB<span class="Apple-converted-space"> </span></b>(simétrica).</span></div>
</li>
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Se<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB ~ CD<span class="Apple-converted-space"> </span></b>e<b><span class="Apple-converted-space"> </span>CD ~ EF</b>,<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB ~ EF</b><span class="Apple-converted-space"> </span>(transitiva).</span></div>
</li>
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Dado o segmento orientado<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB<span class="Apple-converted-space"> </span></b>e um ponto<span class="Apple-converted-space"> </span><b>C</b>, existe um único ponto<span class="Apple-converted-space"> </span><b>D</b><span class="Apple-converted-space"> </span>tal que<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB ~ CD</b>.</span></div>
</li>
</ol>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-28518993185847425812013-03-13T13:51:00.002-07:002013-03-13T13:51:21.872-07:00Vetores<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: medium;">Vetores</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Reta Orientada - Eixo</span></b></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Uma reta<span class="Apple-converted-space"> </span><i>r</i><span class="Apple-converted-space"> </span>é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado<span class="Apple-converted-space"> </span><i>positivo</i><span class="Apple-converted-space"> </span>e indicado por uma seta.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="62" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/Reta.gif" style="border: 0px;" width="178" /></span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Segmento orientado</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado<span class="Apple-converted-space"> </span><i>origem</i><span class="Apple-converted-space"> </span>do segmento, o segundo chamado<span class="Apple-converted-space"> </span><i>extremidade</i>.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="62" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/Reta2.gif" style="border: 0px;" width="178" /></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Segmento Nulo</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Segmentos Opostos</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Se<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é um segmento orientado, o segmento orientado<span class="Apple-converted-space"> </span><b>BA</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é oposto de<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b>.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;">Medida de um Segmento</span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu<span class="Apple-converted-space"> </span><i>comprimento</i><span class="Apple-converted-space"> </span>ou seu<span class="Apple-converted-space"> </span><i>módulo</i>. O comprimento do segmento<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>é indicado por<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/Segmento.gif" style="border: 0px;" width="23" />.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Assim, o comprimento do segmento<span class="Apple-converted-space"> </span><b>AB</b><span class="Apple-converted-space"> </span>representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento:</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/Segmento.gif" style="border: 0px;" width="23" /><span class="Apple-converted-space"> </span>= 5 u.c.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img border="0" height="43" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/medseg.gif" style="border: 0px;" width="257" /></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<i><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Observações</span></i></div>
<ol style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" type="a">
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero</span></div>
</li>
<li><div align="left" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" border="0" height="19" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/Segmento.gif" style="border: 0px;" width="23" /><span class="Apple-converted-space"> </span>=<span class="Apple-converted-space"> </span><img align="middle" border="0" height="16" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/Segmento2.gif" style="border: 0px;" width="25" />.</span></div>
</li>
</ol>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-41743336173390842502013-03-13T13:39:00.002-07:002013-03-13T13:39:53.017-07:00FLUXO DE CAIXA<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: large;"><strong>FLUXO DE CAIXA</strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As<span style="color: green;"><b>entradas</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>ou<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: green;"><b>recebimentos</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>são representados por setas verticais apontadas para<span class="Apple-converted-space"> </span><b>cima</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e as<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: green;"><b>saídas</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>ou<b><span style="color: green;">pagamentos</span></b><span class="Apple-converted-space"> </span>são representados por setas verticais apontadas para<span class="Apple-converted-space"> </span><b>baixo</b>. Observe o gráfico abaixo:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<img border="0" height="174" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/fluxo.jpg" style="border: 0px;" width="316" /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Chamamos de<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: navy;"><b>VP</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>o<span class="Apple-converted-space"> </span><b>valor presente</b>, que significa o valor que eu tenho na data 0;<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: navy;"><b>VF</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>é o<b><span class="Apple-converted-space"> </span>valor futuro</b>, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: large;"><strong>VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO</strong></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Na fórmula<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M = P . (1 + i)<sup>n</sup></b><span class="Apple-converted-space"> </span>, o principal P é também conhecido como<span class="Apple-converted-space"> </span><b>Valor Presente</b><span class="Apple-converted-space"> </span>(<span style="color: navy;"><b>PV</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>= present value) e o montante M é também conhecido como<span class="Apple-converted-space"> </span><b>Valor Futuro</b><span class="Apple-converted-space"> </span>(<span style="color: navy;"><b>FV</b></span><span class="Apple-converted-space"> </span>= future value). </span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-size: x-small;">Então essa fórmula pode ser escrita como </span></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial;"><span style="font-size: x-small;">FV = PV (1 + i)<span class="Apple-converted-space"> </span><sup>n</sup> </span></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>Isolando PV na fórmula temos:</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span></span><b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: small;">PV = FV / (1+i)<sup>n</sup></span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><i> <span class="Apple-converted-space"> </span><u>Exemplo</u>:</i></b></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?<br /> <span class="Apple-converted-space"> </span><i>Solução</i>:</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> FV = 1500 . (1 + 0,02)<sup>12</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>= R$ 1.902,36</span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-37314843032617323472013-03-13T13:37:00.002-07:002013-03-13T13:37:10.732-07:00Relação entre juros e progressões<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<strong><span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: medium;">Relação entre juros e progressões</span></strong></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"> <span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Arial; font-size: x-small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">No regime de juros simples:<br /><b> </b><span class="Apple-converted-space"> </span><b>M( n ) = P + n r P</b><br /><br /> No regime de juros compostos:<br /><b> </b><span class="Apple-converted-space"> </span><b>M( n ) = P . ( 1 + r )<sup><span class="Apple-converted-space"> </span>n</sup></b></span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Portanto:</span></div>
<ul style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<li><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">num regime de capitalização<span class="Apple-converted-space"> </span><b>a juros simples</b><span class="Apple-converted-space"> </span>o saldo cresce em<span class="Apple-converted-space"> </span><b>progressão aritmética</b></span></li>
<li><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">num regime de capitalização<span class="Apple-converted-space"> </span><b>a juros compostos</b><span class="Apple-converted-space"> </span>o saldo cresce em<span class="Apple-converted-space"> </span><b>progressão geométrica</b></span></li>
</ul>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: large;"><strong>TAXAS EQUIVALENTES</strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Duas taxas i<sub>1</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>e i<sub>2</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital<span class="Apple-converted-space"> </span><b>P</b><span class="Apple-converted-space"> </span>durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.</span></div>
<ul style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<li><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Seja o capital<span class="Apple-converted-space"> </span><b>P</b><span class="Apple-converted-space"> </span>aplicado por um ano a uma taxa anual i<sub>a</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O montante<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M</b><span class="Apple-converted-space"> </span>ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i<span class="Apple-converted-space"> </span><sub>a</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>)</span></li>
<li><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Consideremos agora, o mesmo capital<span class="Apple-converted-space"> </span><b>P</b><span class="Apple-converted-space"> </span>aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i<sub>m</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>.</span></li>
<li><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O montante<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M’</b><span class="Apple-converted-space"> </span>ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i<sub>m</sub>)<sup>12</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>.</span></li>
</ul>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M = M’</b>.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Portanto, P(1 + i<sub>a</sub>) = P(1 + i<sub>m</sub>)<sup>12</sup><br /> Daí concluímos que<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: navy;"><b>1 + i<sub>a</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>= (1 + i<sub>m</sub>)<sup>12</sup></b></span><br /> Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><i>Exemplos:</i></b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b> 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?</b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>a</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= (1 + i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>s</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">)<sup>2</sup><br /> 1 + i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>a</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= 1,08<sup>2</sup><br /> i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>a</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= 0,1664 = 16,64% a.a.<br /> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: navy;"><b> 2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?</b></span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">1 + i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>a</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= (1 + i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>m</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">)<sup>12</sup><br /> 1 + i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>a</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= (1,005)<sup>12</sup><br /> i</span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><sub>a</sub></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>= 0,0617 = 6,17% a.a.</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br /></span><span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: large;"><strong>TAXAS NOMINAIS</strong></span></div>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Arial; font-size: x-small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"> A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:<br />- 340% ao semestre com capitalização mensal.</span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Arial; font-size: x-small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">- 1150% ao ano com capitalização mensal.<br />- 300% ao ano com capitalização trimestral.</span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"></span><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span><i><b>Exemplo:</b></i></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>15/12 = 1,25 1,0125<sup>12<span class="Apple-converted-space"> </span></sup>= 1,1608</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br /></span><span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: large;"><strong>TAXAS EFETIVAS</strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:<br />- 140% ao mês com capitalização mensal.<br />- 250% ao semestre com capitalização semestral.<br />- 1250% ao ano com capitalização anual.</span></div>
<b style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"> Taxa Real:</span></b><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; display: inline !important; float: none; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Arial; font-size: x-small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.</span>Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-2393825899349820582013-03-13T13:35:00.003-07:002013-03-13T13:35:47.562-07:00JUROS COMPOSTOS<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big><big>JUROS COMPOSTOS</big></big></big></strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Após três meses de capitalização, temos:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
1º<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">mês:<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M =P.(1 + i)</b><br /> 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior:<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M = P x (1 + i) x (1 + i)<span class="Apple-converted-space"> </span></b><br /> 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior:<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)</b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Simplificando, obtemos a fórmula:<br /> </span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<center>
<table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 50%px;"><tbody>
<tr><td bgcolor="#F5F5F5" width="100%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-size: large;">M = P . (1 + i)<sup>n</sup></span></b></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><u>Importante:</u><span class="Apple-converted-space"> </span>a taxa<span class="Apple-converted-space"> </span><b>i</b><span class="Apple-converted-space"> </span>tem que ser expressa na mesma medida de tempo de<span class="Apple-converted-space"> </span><b>n</b>, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:<br /> </span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<center>
<table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 30%px;"><tbody>
<tr><td bgcolor="#F5F5F5" width="100%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-size: large;">J = M - P</span></b></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><i>Exemplo:</i></b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial;">Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.<br /> (use<span class="Apple-converted-space"> </span><i>log 1,035=0,0149</i><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><i>log 1,509=0,1788</i>)</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><i>Resolução:</i></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: navy;">P = R$6.000,00<br /> t = 1 ano = 12 meses<br /> i = 3,5 % a.m. = 0,035<br /> M = ?</span></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Usando a fórmula<span class="Apple-converted-space"> </span><b>M=P.(1+i)<sup>n</sup></b>, obtemos:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">M = 6000.(1+0,035)<sup>12</sup> = 6000. (1,035)<sup>12</sup><br /> Fazendo x = 1,035<sup>12</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>e aplicando logaritmos,<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">encontramos:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">log x = log<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">1,035<sup>12</sup></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Então M = 6000.1,509 = 9054.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Portanto o montante é R$9.054,00</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-71873832668347243782013-03-13T13:34:00.005-07:002013-03-13T13:34:50.412-07:00JUROS SIMPLES<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big><big>JUROS SIMPLES</big></big></big></strong></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.</span><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<center>
<table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 32%px;"><tbody>
<tr><td bgcolor="#F5F5F5" width="100%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-size: large;">J = P . i . n</span></b></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Onde:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<center>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 24%px;"><tbody>
<tr><td width="100%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>J</b><span class="Apple-converted-space"> </span>= juros<br /><b>P</b><span class="Apple-converted-space"> </span>= principal (capital)<br /><b>i</b><span class="Apple-converted-space"> </span>= taxa de juros<br /><b>n</b><span class="Apple-converted-space"> </span>= número de períodos</span></td></tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><u>Exemplo</u>: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:</span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">J = 1000 x 0.08 x 2 =<span class="Apple-converted-space"> </span><b>160</b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Ao somarmos os juros ao valor principal temos o<span class="Apple-converted-space"> </span><b>montante</b>.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Montante = Principal + Juros<br /> <span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<center>
<table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 60%px;"><tbody>
<tr><td bgcolor="#F5F5F5" width="100%"><div align="center" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<b><span style="color: navy; font-size: large;">M = P . ( 1 + ( i . n ) )</span></b></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</center>
</div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><u>Exemplo</u>: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> SOLUÇÃO:<br /> M = P . ( 1 + (i.n) )<br /> M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Observe que expressamos a taxa<span class="Apple-converted-space"> </span><b>i</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e o período<span class="Apple-converted-space"> </span><b>n</b>, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.</span><span style="color: blue; font-family: Arial, sans-serif;"><br /></span></div>
<hr color="#C0C0C0" size="1" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;" />
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><i><u>Exercícios sobre juros simples:</u></i></b></span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b> <span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: navy;">1)</span></span><span style="color: navy;"><span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.</span></span></b></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">0.13 / 6 = 0.02167<br /> logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195</span></div>
<div align="left" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> j = 1200 x 0.195 = 234</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b> 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.</b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Temos: J = P.i.n<br /> A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.<br /> Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:<br /> J = 40000.0,001.125 = R$5000,00</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b> 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?</b></span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)<br /> Observe que expressamos a taxa<span class="Apple-converted-space"> </span><b>i</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e o período<span class="Apple-converted-space"> </span><b>n</b><span class="Apple-converted-space"> </span>em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,<br /> 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:<br /> P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67</span></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-top: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?</b></span><br /><br /><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Objetivo: M = 2.P<br /> Dados: i = 150/100 = 1,5<br /> Fórmula: M = P (1 + i.n)<br /> Desenvolvimento:</span></div>
<center style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">2P = P (1 + 1,5 n)</span></center>
<span style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Arial; font-size: x-small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;"><center>
2 = 1 + 1,5 n</center>
<center>
n = 2/3 ano = 8 meses</center>
</span>Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-13279786913563578152013-03-13T13:30:00.001-07:002013-03-13T13:30:30.224-07:00MATEMÁTICA FINANCEIRA(Conceitos Básicos)<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big><big>MATEMÁTICA FINANCEIRA</big></big></big></strong></span></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: green; font-family: Arial; font-size: small;">Conceitos básicos</span></b></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.</span></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: small;"><b> Capital</b></span><ul><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).<br /> </span></ul>
<span style="font-family: Arial; font-size: small;"> <span class="Apple-converted-space"> </span><span style="color: navy;"><b>Juros</b></span></span><ul><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes:<span class="Apple-converted-space"> </span><u>simples</u><span class="Apple-converted-space"> </span>ou<span class="Apple-converted-space"> </span><u>compostos</u>.</span> <span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><br /> </span><table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 85%px;"><tbody>
<tr><td bgcolor="#F5F5F5" width="100%"><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><span style="color: navy;">JUROS SIMPLES</span></b>:<span class="Apple-converted-space"> </span></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.</span><div style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><span style="color: navy;">JUROS COMPOSTOS</span></b>: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</ul>
</div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /> <span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">O<b><span class="Apple-converted-space"> </span>juro<span class="Apple-converted-space"> </span></b>é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do<span class="Apple-converted-space"> </span><b>tempo</b><span class="Apple-converted-space"> </span>e<span class="Apple-converted-space"> </span><b>risco</b>, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como<b>taxa de juros</b>.</span></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: small;"> <span style="color: navy; font-family: Arial;"><b> Quando usamos juros simples e juros compostos?</b></span></span><br /> <span class="Apple-converted-space"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza<span class="Apple-converted-space"> </span><b>juros compostos</b>. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.</span></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: small;"> <span style="color: navy; font-family: Arial;"><b> <span class="Apple-converted-space"> </span></b></span><span style="color: navy; font-family: Arial;"><b>Taxa de juros</b></span></span></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span class="Apple-converted-space"> </span>A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:</span></div>
<div align="justify" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: white; color: black; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<ul><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).<br />10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).</span></ul>
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:</span><ul><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).<br />0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)</span></ul>
</div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-6583385316504237882013-03-12T15:47:00.003-07:002013-03-12T18:03:03.534-07:00Racionalização de denominadores<br />
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana; font-size: large;"><strong>Racionalização de denominadores</strong></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Considere a fração: <img align="middle" height="44" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici1.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="27" /> que seu denominador é um número irracional.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por <img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici2.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1026" width="24" /> , obtendo uma fração equivalente:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="48" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici3.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1027" width="96" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Observe que a fração equivalente <img align="middle" height="45" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici4.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1034" width="35" /> possui um denominador racional.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A essa transformação, damos o nome de <b>racionalização de denomindores</b>.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"><b>Principais casos de racionalização:<o:p></o:p></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><b><span style="color: green;">1</span></b><b><span style="color: green;">º Caso:</span></b> <b>O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:</b><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><img height="49" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici33.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="187" /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici6.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1029" width="25" /> é o fator racionalizante de <img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici6.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1029" width="25" /> , pois <img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici6.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1029" width="25" /> . <img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici6.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1029" width="25" /> = <img align="middle" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici10.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1033" width="32" /> = </span><i><span style="font-size: small;">a</span></i><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><o:p></o:p></span></div>
<div align="left" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: green;"><b>2º Caso:</b></span> <b>O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:</b><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><img height="53" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici34.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="212" /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici12.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1026" width="47" /> é o fator racionalizante de <img align="middle" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici13.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1027" width="35" /><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici14.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1028" width="60" /> é o fator racionalizante de <img height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici15.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1029" width="61" /><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici16.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1030" width="61" /> é o fator racionalizante de <img height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici17.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1031" width="60" /><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="font-size: 12pt;"><img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici35.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="48" /> </span> </span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> é o fator racionalizante de <span style="font-size: 12pt;"><img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici36.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="48" /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><span style="color: navy;"><b>Potência com expoente racional</b></span><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Observe as seguintes igualdades:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img align="middle" height="27" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici20.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1034" width="61" /> ou <img align="middle" height="35" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici21.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1035" width="63" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="35" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici22.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="59" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">De modo geral, definimos:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="35" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici23.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1031" width="69" /> , com a <img height="13" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici24.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1032" width="13" /> R,m,n, <img height="13" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici25.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1033" width="13" /> N, a >0, n>0, m>0<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="35" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici26.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1034" width="71" /><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Propriedade das potências com expoentes racionais<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="36" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici27.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1035" width="95" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="36" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici28.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1030" width="101" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="69" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici29.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1026" width="76" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="58" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici30.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1027" width="74" /></span><span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;">Exemplo:</span></div>
<span style="background-color: white; font-family: Arial; font-size: x-small;"><img height="68" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radic/radici32.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1029" width="85" /></span>Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-55294421748492675962013-03-12T15:46:00.003-07:002013-03-12T18:02:44.849-07:00Radiciação<br />
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big><big>Radiciação</big></big></big></strong></span></div>
<div class="MsoSubtitle" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: small;">Potenciação de Radicais</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Observando as potencias, temos que:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: 12pt;"><img height="29" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici1.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="233" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: 12pt;"><img height="29" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici2.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="83" /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: 12pt;"><img height="29" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici3.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="181" /></span></div>
<div class="MsoCaption" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><b><span style="color: navy; font-family: Arial; font-size: small;">Divisão de Radicais</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Segundo as propriedades dos radicais, temos que:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: 12pt;"><img height="48" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici4.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="68" /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Arial; font-size: 12pt;"><img height="48" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici5.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="81" /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> <span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><img align="middle" height="24" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici6.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="24" /> </span>: <span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><img align="middle" height="23" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici7.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="25" /> </span>= </span><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><img align="middle" height="48" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici8.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="132" /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><img height="51" src="http://www.somatematica.com.br/fundam/radici9.gif" style="border: 0px;" v:shapes="_x0000_i1025" width="245" /></span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-45836584403719535672013-03-12T15:44:00.001-07:002013-03-12T16:27:23.163-07:00TABELA TRIGONOMÉTRICA<br />
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="color: navy; font-family: Verdana;"><strong><big><big><big>TABELA TRIGONOMÉTRICA</big></big></big></strong></span></div>
<div align="center" style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<center>
<table border="1" bordercolor="#C0C0C0" style="font-size: 11px; list-style-image: url(http://www.somatematica.com.br/figuras/bullet.gif); width: 355px;"><colgroup><col span="4" style="width: 48pt;" width="64"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="center" bgcolor="#C0C0C0" class="xl24" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64"><b><span style="color: navy;">Ângulo</span></b></td><td align="center" bgcolor="#C0C0C0" class="xl24" width="86"><b><span style="color: navy;">sen</span></b></td><td align="center" bgcolor="#C0C0C0" class="xl24" width="95"><b><span style="color: navy;">cos</span></b></td><td align="center" bgcolor="#C0C0C0" class="xl24" width="89"><b><span style="color: navy;">tg</span></b></td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">1</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A1*PI()/180)" x:num="1.7452406437283512E-2">0,017452</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A1*PI()/180)" x:num="0.99984769515639127">0,999848</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A1*PI()/180)" x:num="1.7455064928217585E-2">0,017455</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">2</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A2*PI()/180)" x:num="3.4899496702500969E-2">0,034899</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A2*PI()/180)" x:num="0.99939082701909576">0,999391</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A2*PI()/180)" x:num="3.492076949174773E-2">0,034921</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">3</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A3*PI()/180)" x:num="5.2335956242943828E-2">0,052336</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A3*PI()/180)" x:num="0.99862953475457383">0,99863</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A3*PI()/180)" x:num="5.2407779283041196E-2">0,052408</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">4</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A4*PI()/180)" x:num="6.9756473744125302E-2">0,069756</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A4*PI()/180)" x:num="0.9975640502598242">0,997564</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A4*PI()/180)" x:num="6.9926811943510414E-2">0,069927</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">5</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A5*PI()/180)" x:num="8.7155742747658166E-2">0,087156</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A5*PI()/180)" x:num="0.99619469809174555">0,996195</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A5*PI()/180)" x:num="8.7488663525924007E-2">0,087489</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">6</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A6*PI()/180)" x:num="0.10452846326765346">0,104528</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A6*PI()/180)" x:num="0.99452189536827329">0,994522</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A6*PI()/180)" x:num="0.10510423526567646">0,105104</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">7</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A7*PI()/180)" x:num="0.12186934340514748">0,121869</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A7*PI()/180)" x:num="0.99254615164132198">0,992546</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A7*PI()/180)" x:num="0.1227845609029046">0,122785</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">8</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A8*PI()/180)" x:num="0.13917310096006544">0,139173</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A8*PI()/180)" x:num="0.99026806874157036">0,990268</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A8*PI()/180)" x:num="0.14054083470239145">0,140541</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">9</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A9*PI()/180)" x:num="0.15643446504023087">0,156434</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A9*PI()/180)" x:num="0.98768834059513777">0,987688</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A9*PI()/180)" x:num="0.15838444032453627">0,158384</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">10</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A10*PI()/180)" x:num="0.17364817766693033">0,173648</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A10*PI()/180)" x:num="0.98480775301220802">0,984808</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A10*PI()/180)" x:num="0.17632698070846498">0,176327</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">11</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A11*PI()/180)" x:num="0.1908089953765448">0,190809</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A11*PI()/180)" x:num="0.98162718344766398">0,981627</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A11*PI()/180)" x:num="0.19438030913771848">0,19438</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">12</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A12*PI()/180)" x:num="0.20791169081775931">0,207912</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A12*PI()/180)" x:num="0.97814760073380569">0,978148</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A12*PI()/180)" x:num="0.2125565616700221">0,212557</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">13</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A13*PI()/180)" x:num="0.224951054343865">0,224951</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A13*PI()/180)" x:num="0.97437006478523525">0,97437</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A13*PI()/180)" x:num="0.23086819112556312">0,230868</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">14</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A14*PI()/180)" x:num="0.24192189559966773">0,241922</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A14*PI()/180)" x:num="0.97029572627599647">0,970296</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A14*PI()/180)" x:num="0.24932800284318068">0,249328</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">15</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A15*PI()/180)" x:num="0.25881904510252074">0,258819</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A15*PI()/180)" x:num="0.96592582628906831">0,965926</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A15*PI()/180)" x:num="0.2679491924311227">0,267949</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">16</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A16*PI()/180)" x:num="0.27563735581699916">0,275637</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A16*PI()/180)" x:num="0.96126169593831889">0,961262</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A16*PI()/180)" x:num="0.28674538575880792">0,286745</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">17</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A17*PI()/180)" x:num="0.29237170472273677">0,292372</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A17*PI()/180)" x:num="0.95630475596303544">0,956305</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A17*PI()/180)" x:num="0.30573068145866039">0,305731</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">18</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A18*PI()/180)" x:num="0.3090169943749474">0,309017</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A18*PI()/180)" x:num="0.95105651629515353">0,951057</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A18*PI()/180)" x:num="0.32491969623290629">0,32492</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">19</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A19*PI()/180)" x:num="0.32556815445715664">0,325568</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A19*PI()/180)" x:num="0.94551857559931685">0,945519</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A19*PI()/180)" x:num="0.34432761328966521">0,344328</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">20</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A20*PI()/180)" x:num="0.34202014332566871">0,34202</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A20*PI()/180)" x:num="0.93969262078590843">0,939693</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A20*PI()/180)" x:num="0.36397023426620234">0,36397</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">21</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A21*PI()/180)" x:num="0.35836794954530027">0,358368</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A21*PI()/180)" x:num="0.93358042649720174">0,93358</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A21*PI()/180)" x:num="0.38386403503541577">0,383864</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">22</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A22*PI()/180)" x:num="0.37460659341591201">0,374607</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A22*PI()/180)" x:num="0.92718385456678742">0,927184</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A22*PI()/180)" x:num="0.40402622583515679">0,404026</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">23</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A23*PI()/180)" x:num="0.39073112848927372">0,390731</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A23*PI()/180)" x:num="0.92050485345244037">0,920505</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A23*PI()/180)" x:num="0.4244748162096047">0,424475</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">24</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A24*PI()/180)" x:num="0.40673664307580015">0,406737</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A24*PI()/180)" x:num="0.91354545764260087">0,913545</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A24*PI()/180)" x:num="0.4452286853085361">0,445229</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">25</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A25*PI()/180)" x:num="0.42261826174069944">0,422618</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A25*PI()/180)" x:num="0.90630778703664994">0,906308</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A25*PI()/180)" x:num="0.46630765815499858">0,466308</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">26</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A26*PI()/180)" x:num="0.4383711467890774">0,438371</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A26*PI()/180)" x:num="0.89879404629916704">0,898794</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A26*PI()/180)" x:num="0.48773258856586144">0,487733</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">27</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A27*PI()/180)" x:num="0.45399049973954675">0,45399</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A27*PI()/180)" x:num="0.8910065241883679">0,891007</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A27*PI()/180)" x:num="0.50952544949442879">0,509525</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">28</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A28*PI()/180)" x:num="0.46947156278589081">0,469472</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A28*PI()/180)" x:num="0.88294759285892699">0,882948</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A28*PI()/180)" x:num="0.53170943166147877">0,531709</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">29</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A29*PI()/180)" x:num="0.48480962024633706">0,48481</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A29*PI()/180)" x:num="0.87461970713939574">0,87462</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A29*PI()/180)" x:num="0.55430905145276899">0,554309</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">30</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A30*PI()/180)" x:num="00.5">0,5</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A30*PI()/180)" x:num="0.86602540378443871">0,866025</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A30*PI()/180)" x:num="0.57735026918962573">0,57735</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">31</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A31*PI()/180)" x:num="0.51503807491005416">0,515038</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A31*PI()/180)" x:num="0.85716730070211233">0,857167</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A31*PI()/180)" x:num="0.60086061902756038">0,600861</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">32</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A32*PI()/180)" x:num="0.5299192642332049">0,529919</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A32*PI()/180)" x:num="0.84804809615642596">0,848048</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A32*PI()/180)" x:num="0.62486935190932746">0,624869</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">33</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A33*PI()/180)" x:num="0.54463903501502708">0,544639</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A33*PI()/180)" x:num="0.83867056794542405">0,838671</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A33*PI()/180)" x:num="0.64940759319751062">0,649408</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">34</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A34*PI()/180)" x:num="0.5591929034707469">0,559193</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A34*PI()/180)" x:num="0.82903757255504162">0,829038</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A34*PI()/180)" x:num="0.67450851684242674">0,674509</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">35</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A35*PI()/180)" x:num="0.57357643635104605">0,573576</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A35*PI()/180)" x:num="0.8191520442889918">0,819152</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A35*PI()/180)" x:num="0.70020753820970971">0,700208</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">36</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A36*PI()/180)" x:num="0.58778525229247314">0,587785</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A36*PI()/180)" x:num="0.80901699437494745">0,809017</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A36*PI()/180)" x:num="0.7265425280053609">0,726543</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">37</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A37*PI()/180)" x:num="0.60181502315204827">0,601815</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A37*PI()/180)" x:num="0.79863551004729283">0,798636</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A37*PI()/180)" x:num="0.75355405010279419">0,753554</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">38</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A38*PI()/180)" x:num="0.61566147532565818">0,615661</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A38*PI()/180)" x:num="0.78801075360672201">0,788011</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A38*PI()/180)" x:num="0.78128562650671729">0,781286</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">39</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A39*PI()/180)" x:num="0.62932039104983739">0,62932</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A39*PI()/180)" x:num="0.7771459614569709">0,777146</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A39*PI()/180)" x:num="0.80978403319500702">0,809784</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">40</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A40*PI()/180)" x:num="0.64278760968653925">0,642788</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A40*PI()/180)" x:num="0.76604444311897801">0,766044</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A40*PI()/180)" x:num="0.83909963117727993">0,8391</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">41</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A41*PI()/180)" x:num="0.65605902899050716">0,656059</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A41*PI()/180)" x:num="0.75470958022277213">0,75471</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A41*PI()/180)" x:num="0.86928673781622645">0,869287</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">42</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A42*PI()/180)" x:num="0.66913060635885824">0,669131</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A42*PI()/180)" x:num="0.74314482547739424">0,743145</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A42*PI()/180)" x:num="0.90040404429783993">0,900404</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">43</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A43*PI()/180)" x:num="0.68199836006249848">0,681998</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A43*PI()/180)" x:num="0.73135370161917057">0,731354</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A43*PI()/180)" x:num="0.93251508613766154">0,932515</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">44</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A44*PI()/180)" x:num="0.69465837045899725">0,694658</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A44*PI()/180)" x:num="0.71933980033865119">0,71934</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A44*PI()/180)" x:num="0.96568877480707394">0,965689</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">45</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A45*PI()/180)" x:num="0.70710678118654746">0,707107</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A45*PI()/180)" x:num="0.70710678118654757">0,707107</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A45*PI()/180)" x:num="">1</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">46</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A46*PI()/180)" x:num="0.71933980033865108">0,71934</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A46*PI()/180)" x:num="0.69465837045899737">0,694658</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A46*PI()/180)" x:num="1.0355303137905694">1,03553</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">47</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A47*PI()/180)" x:num="0.73135370161917046">0,731354</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A47*PI()/180)" x:num="0.68199836006249848">0,681998</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A47*PI()/180)" x:num="1.0723687100246826">1,072369</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">48</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A48*PI()/180)" x:num="0.74314482547739413">0,743145</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A48*PI()/180)" x:num="0.66913060635885824">0,669131</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A48*PI()/180)" x:num="1.1106125148291928">1,110613</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">49</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A49*PI()/180)" x:num="0.75470958022277201">0,75471</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A49*PI()/180)" x:num="0.65605902899050728">0,656059</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A49*PI()/180)" x:num="1.1503684072210094">1,150368</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">50</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A50*PI()/180)" x:num="0.76604444311897801">0,766044</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A50*PI()/180)" x:num="0.64278760968653936">0,642788</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A50*PI()/180)" x:num="1.19175359259421">1,191754</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">51</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A51*PI()/180)" x:num="0.77714596145697079">0,777146</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A51*PI()/180)" x:num="0.6293203910498375">0,62932</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A51*PI()/180)" x:num="1.2348971565350511">1,234897</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">52</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A52*PI()/180)" x:num="0.78801075360672201">0,788011</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A52*PI()/180)" x:num="0.61566147532565829">0,615661</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A52*PI()/180)" x:num="1.2799416321930788">1,279942</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">53</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A53*PI()/180)" x:num="0.79863551004729283">0,798636</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A53*PI()/180)" x:num="0.60181502315204838">0,601815</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A53*PI()/180)" x:num="1.3270448216204098">1,327045</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">54</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A54*PI()/180)" x:num="0.80901699437494745">0,809017</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A54*PI()/180)" x:num="0.58778525229247314">0,587785</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A54*PI()/180)" x:num="1.3763819204711734">1,376382</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">55</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A55*PI()/180)" x:num="0.8191520442889918">0,819152</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A55*PI()/180)" x:num="0.57357643635104616">0,573576</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A55*PI()/180)" x:num="1.4281480067421144">1,428148</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">56</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A56*PI()/180)" x:num="0.82903757255504174">0,829038</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A56*PI()/180)" x:num="0.55919290347074679">0,559193</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A56*PI()/180)" x:num="1.4825609685127403">1,482561</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">57</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A57*PI()/180)" x:num="0.83867056794542394">0,838671</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A57*PI()/180)" x:num="0.5446390350150272">0,544639</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A57*PI()/180)" x:num="1.5398649638145827">1,539865</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">58</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A58*PI()/180)" x:num="0.84804809615642596">0,848048</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A58*PI()/180)" x:num="0.5299192642332049">0,529919</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A58*PI()/180)" x:num="1.6003345290410507">1,600335</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">59</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A59*PI()/180)" x:num="0.85716730070211222">0,857167</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A59*PI()/180)" x:num="0.51503807491005438">0,515038</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A59*PI()/180)" x:num="1.6642794823505174">1,664279</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">60</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A60*PI()/180)" x:num="0.8660254037844386">0,866025</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A60*PI()/180)" x:num="00.5">0,5</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A60*PI()/180)" x:num="1.7320508075688767">1,732051</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">61</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A61*PI()/180)" x:num="0.87461970713939574">0,87462</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A61*PI()/180)" x:num="0.48480962024633711">0,48481</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A61*PI()/180)" x:num="1.8040477552714236">1,804048</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">62</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A62*PI()/180)" x:num="0.88294759285892688">0,882948</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A62*PI()/180)" x:num="0.46947156278589086">0,469472</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A62*PI()/180)" x:num="1.8807264653463318">1,880726</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">63</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A63*PI()/180)" x:num="0.89100652418836779">0,891007</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A63*PI()/180)" x:num="0.4539904997395468">0,45399</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A63*PI()/180)" x:num="1.9626105055051504">1,962611</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">64</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A64*PI()/180)" x:num="0.89879404629916704">0,898794</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A64*PI()/180)" x:num="0.43837114678907746">0,438371</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A64*PI()/180)" x:num="2.050303841579296">2,050304</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">65</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A65*PI()/180)" x:num="0.90630778703664994">0,906308</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A65*PI()/180)" x:num="0.42261826174069944">0,422618</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A65*PI()/180)" x:num="2.1445069205095586">2,144507</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">66</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A66*PI()/180)" x:num="0.91354545764260087">0,913545</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A66*PI()/180)" x:num="0.40673664307580021">0,406737</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A66*PI()/180)" x:num="2.2460367739042164">2,246037</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">67</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A67*PI()/180)" x:num="0.92050485345244026">0,920505</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A67*PI()/180)" x:num="0.39073112848927394">0,390731</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A67*PI()/180)" x:num="2.3558523658237518">2,355852</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">68</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A68*PI()/180)" x:num="0.92718385456678742">0,927184</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A68*PI()/180)" x:num="0.37460659341591196">0,374607</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A68*PI()/180)" x:num="2.4750868534162964">2,475087</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">69</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A69*PI()/180)" x:num="0.93358042649720174">0,93358</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A69*PI()/180)" x:num="0.35836794954530038">0,358368</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A69*PI()/180)" x:num="2.6050890646938005">2,605089</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">70</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A70*PI()/180)" x:num="0.93969262078590832">0,939693</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A70*PI()/180)" x:num="0.34202014332566882">0,34202</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A70*PI()/180)" x:num="2.7474774194546216">2,747477</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">71</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A71*PI()/180)" x:num="0.94551857559931674">0,945519</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A71*PI()/180)" x:num="0.32556815445715676">0,325568</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A71*PI()/180)" x:num="2.9042108776758222">2,904211</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">72</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A72*PI()/180)" x:num="0.95105651629515353">0,951057</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A72*PI()/180)" x:num="0.30901699437494745">0,309017</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A72*PI()/180)" x:num="3.0776835371752527">3,077684</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">73</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A73*PI()/180)" x:num="0.95630475596303544">0,956305</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A73*PI()/180)" x:num="0.29237170472273677">0,292372</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A73*PI()/180)" x:num="3.2708526184841404">3,270853</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">74</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A74*PI()/180)" x:num="0.96126169593831889">0,961262</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A74*PI()/180)" x:num="0.27563735581699916">0,275637</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A74*PI()/180)" x:num="3.4874144438409087">3,487414</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">75</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A75*PI()/180)" x:num="0.96592582628906831">0,965926</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A75*PI()/180)" x:num="0.25881904510252074">0,258819</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A75*PI()/180)" x:num="3.7320508075688776">3,732051</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">76</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A76*PI()/180)" x:num="0.97029572627599647">0,970296</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A76*PI()/180)" x:num="0.2419218955996679">0,241922</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A76*PI()/180)" x:num="4.010780933535842">4,010781</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">77</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A77*PI()/180)" x:num="0.97437006478523525">0,97437</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A77*PI()/180)" x:num="0.22495105434386492">0,224951</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A77*PI()/180)" x:num="4.3314758742841573">4,331476</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">78</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A78*PI()/180)" x:num="0.97814760073380558">0,978148</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A78*PI()/180)" x:num="0.20791169081775945">0,207912</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A78*PI()/180)" x:num="4.7046301094784511">4,70463</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">79</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A79*PI()/180)" x:num="0.98162718344766398">0,981627</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A79*PI()/180)" x:num="0.19080899537654492">0,190809</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A79*PI()/180)" x:num="5.1445540159703071">5,144554</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">80</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A80*PI()/180)" x:num="0.98480775301220802">0,984808</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A80*PI()/180)" x:num="0.17364817766693041">0,173648</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A80*PI()/180)" x:num="5.6712818196177066">5,671282</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">81</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A81*PI()/180)" x:num="0.98768834059513777">0,987688</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A81*PI()/180)" x:num="0.15643446504023092">0,156434</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A81*PI()/180)" x:num="6.3137515146750411">6,313752</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">82</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A82*PI()/180)" x:num="0.99026806874157025">0,990268</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A82*PI()/180)" x:num="0.13917310096006569">0,139173</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A82*PI()/180)" x:num="7.1153697223841954">7,11537</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">83</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A83*PI()/180)" x:num="0.99254615164132198">0,992546</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A83*PI()/180)" x:num="0.12186934340514749">0,121869</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A83*PI()/180)" x:num="8.1443464279745932">8,144346</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">84</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A84*PI()/180)" x:num="0.99452189536827329">0,994522</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A84*PI()/180)" x:num="0.10452846326765346">0,104528</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A84*PI()/180)" x:num="9.5143644542225871">9,514364</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">85</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A85*PI()/180)" x:num="0.99619469809174555">0,996195</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A85*PI()/180)" x:num="8.7155742747658138E-2">0,087156</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A85*PI()/180)" x:num="11.430052302761348">11,43005</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">86</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A86*PI()/180)" x:num="0.9975640502598242">0,997564</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A86*PI()/180)" x:num="6.9756473744125455E-2">0,069756</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A86*PI()/180)" x:num="14.300666256711896">14,30067</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">87</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A87*PI()/180)" x:num="0.99862953475457383">0,99863</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A87*PI()/180)" x:num="5.2335956242943966E-2">0,052336</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A87*PI()/180)" x:num="19.081136687728161">19,08114</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">88</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A88*PI()/180)" x:num="0.99939082701909576">0,999391</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A88*PI()/180)" x:num="3.489949670250108E-2">0,034899</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A88*PI()/180)" x:num="28.636253282915515">28,63625</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">89</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A89*PI()/180)" x:num="0.99984769515639127">0,999848</td><td align="center" width="86" x:fmla="=COS(A89*PI()/180)" x:num="1.7452406437283376E-2">0,017452</td><td align="center" width="89" x:fmla="=TAN(A89*PI()/180)" x:num="57.289961630759876">57,28996</td></tr>
<tr height="17" style="height: 12.75pt;"><td align="center" bgcolor="#EFEFEF" height="17" style="height: 12.75pt;" width="64" x:num="">90</td><td align="center" width="88" x:fmla="=SIN(A90*PI()/180)" x:num="">1</td><td align="center" width="86" x:num="">0</td><td align="center" width="89">-</td></tr>
</tbody></table>
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Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3857221664072574753.post-42397039766654769872013-03-03T16:16:00.001-08:002013-03-12T16:27:52.412-07:00Exercícios Complementares - Regra de três Simples e Composta<br />
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> Agora chegou a sua vez de tentar.</span><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="color: blue; font-family: Arial;"><strong>Pratique</strong></span><span style="font-family: Arial;"> </span><span style="font-family: Arial;">tentando fazer esses exercícios:</span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> <strong><span style="color: blue;">1)</span></strong> Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? <span style="color: blue;"><small><small>Resposta: 6 horas.</small></small></span></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> </span></div>
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<span style="font-family: Arial;"><strong><span style="color: blue;">2)</span></strong> Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? <span style="color: blue;"><small><small>Resposta: 35 dias.</small></small></span></span></div>
<div style="background-color: white; font-family: Verdana, Geneva, sans-serif; font-size: 11px;">
<span style="font-family: Arial;"> </span></div>
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<span style="font-family: Arial;"> <strong><span style="color: blue;">3)</span></strong> Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? <span style="color: blue;"><small><small>Resposta: 15 dias.</small></small></span></span></div>
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<span style="font-family: Arial;"> </span></div>
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<span style="font-family: Arial;"> <strong><span style="color: blue;">4)</span></strong> Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? <span style="color: blue;"><small><small>Resposta: 10 horas por dia.</small></small></span></span></div>
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<span style="font-family: Arial;"> </span></div>
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<span style="font-family: Arial;"> <strong><span style="color: blue;">5)</span></strong> Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? <span style="color: blue;"><small><small>Resposta: 2025 metros.</small></small></span></span></div>
Rodrigo Moreirahttp://www.blogger.com/profile/01404463122935593456noreply@blogger.com0